Chiarimento sulla diagonalizazione di matrici
Salve a tutti! In un esercizio riguardo lo studio di un endomorfismo mi viene chiesto, una volta trovata la matrice dei coefficienti, di stabilire se è diagonalizabile e trovare poi una base diagonalizzante e una rappresentazione rispetto la base diagonalizzante scelta. Questi ultimi due punti non mi sono chiari.
La base diagonalizzante sarebbe quella formata dai vettori colonna della matrice diagonalizzante?
Per rappresentazione rispetto la suddetta base cosa si intende? sarebbe il prodotto $P^TAP$?
Grazie
La base diagonalizzante sarebbe quella formata dai vettori colonna della matrice diagonalizzante?
Per rappresentazione rispetto la suddetta base cosa si intende? sarebbe il prodotto $P^TAP$?
Grazie
Risposte
Una base diagonalizzante e' una base di autovettori per la matrice ed esiste se e solo se la matrice e' diagonalizzabile.
Rispetto a quella base, il tuo endomorfismo e' rappresentato da una matrice diagonale, con gli autovalori sulla diagonale.
Se $A$ e' la matrice del tuo endomorfismo rispetto a una certa base (ad esempio la base canonica) e $P$ e' la matrice ottenuta affiancando i vettori delle coordinate degli autovalori in quella base, allora $P^{-1}AP$ e' la matrice diagonale che stai cercando.
Rispetto a quella base, il tuo endomorfismo e' rappresentato da una matrice diagonale, con gli autovalori sulla diagonale.
Se $A$ e' la matrice del tuo endomorfismo rispetto a una certa base (ad esempio la base canonica) e $P$ e' la matrice ottenuta affiancando i vettori delle coordinate degli autovalori in quella base, allora $P^{-1}AP$ e' la matrice diagonale che stai cercando.
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