Chiarimento sui sistemi lineari

[Linux1987]

Salve ragazzi, avrei bisogno che qualcuno mi chiarisse il seguente dubbio: perchè un sistema lineare di m equazioni ed n incognite da un punto di vista vettoriale ovvero geometrico, è in generale non risolvibile rispetto ad un sistema quadrato ?? Ossia se io ho m equazioni ed n incognite con m>n,significa che con n vettori di m componenti devo trovare dei coefficienti che esprimano il vettore b (soluzione del sistema), come combinazione lineare degli n vettori per tali coefficienti. Quindi perchè nel caso m>n , oppure n>m , il sistema è incompatibile? E perchè nel caso quadrato se la matrice è non singolare allora ammette sempre una soluzione?? Grazie in anticipo

[Linux1987]

Ragazzi per piacere datemi una mano!!

[Raptorista1]

Ciao pasqualinux e benvenuto sul forum. Ti consiglio di leggere il regolamento prima di postare: se continui ad infrangere il regolamento in questo modo, difficilmente otterrai risposte!

Nel frattempo, cerca i teoremi di Cramer e Kronecker-Rouché-Capelli.

[Linux1987]

Salve, scusa per l'atteggiamento scorretto .. Non ero a conoscenza del regolamento. Comunque ho letto i teoremi che mi hai detto , ma non sono stati utili... Mica sapresti aiutarmi ulteriormente.. ps spero di non infrangere nessuna regola rispondendoti, perchè ho letto velocemente il regolamento!!

[Raptorista1]

Allora non li hai letti bene:

"pasqualinux":Quindi perchè nel caso m>n , oppure n>m , il sistema è incompatibile?

Questo non è sempre vero: il teorema di Rouché-Capelli ti dice quando questa frase è vera.

"pasqualinux":E perchè nel caso quadrato se la matrice è non singolare allora ammette sempre una soluzione?? Grazie in anticipo

Questo è il teorema di Cramer.

[_prime_number]

Sono in molti ad avere dubbi sulla risoluzione dei sistemi lineari: a tutti io consiglio di prendere in mano il sacro teorema di Rouchè Capelli, come indica Raptorista, e di fare un chiaro schemino di cosa dice, con tutti i casi. In questo modo risolvere i sistemi diventa una passeggiata!

Paola

[Linux1987]

Chiedo scusa, forse non mi sono spiegato bene, i teoremi che mi avete indicato sono utili a risolvere i sistemi però non trovo in questi ultimi le giustificazioni geometriche chieste, ovvero le giustificazioni da un punto di vista di spazio vettoriale.. Il teorema di rouchè capelli indica come le soluzioni possono essere calcolate in funzione del rango e cramer indica come calcolare la soluzione del sistema nel caso in cui ci sia esattamente una soluzione ...io vorrei capire da un punto di vista geometrico

[_prime_number]

Il sistema $Ax=b$ significa geometricamente "trovare una combinazione lineare delle colonne di $A$ che restituisca $b$". La soluzione $x$ è il vettore di coefficienti che permettono questa combinazione lineare, ovvero si ha
$x_1 A_1 + ...+x_n A_n = b$
dove $A_i$ è l'i-esima colonna della matrice.
Nel caso del sistema determinato, hai che necessariamente [tex]n=rank(A)=rank(A|b)[/tex] dove $n$ è il numero delle incognite. Le colonne di $A$ sono elementi di $\mathbb{R}^n$ e per ipotesi (rango) sono linearmente indipendenti, quindi sono una base. Perciò è sicuramente possibile esprimere $b$ come loro combinazione lineare.
Nel caso di sistema impossibile si ha $rank(A)\ne rank(A|b)$: il rango di $A$ è il numero di colonne linearmente indipendenti della matrice, diciamo che sono le prime $k$ per semplicità. Il fatto che sia diverso da $rank(A|b)$ vuol dire che queste $k$ colonne e $b$ sono linearmente indipendenti. Dunque l'unica combinazione possibile che permette che
$x_1 A_1 + ...+x_k A_k=b \to x_1 A_1 + ...+x_k A_k -b=0 $
sarebbe quella a coefficienti tutti nulli, ma $b$ ha coefficiente $1$ e questo rende la situazione assurda.
Vuoi provare tu a dedurre il significato geometrico del caso indeterminato?


Paola

[Linux1987]

Il caso indeterminato si verifica qualora il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta, ma tale rango è minore del numero di incognite, questo vale a dire che il numero di colonne linearmente indipendenti della matrice dei coefficienti è minore del numero di incognite, e che quindi nella matrice dei coefficienti vi sono $n-rank(A)$ colonne linearmente dipendenti, quindi avremo $Rank(A)$ incognite dipendenti, ed $n-rank(A)$ incognite libere (ossia che gli può essere assegnato un qualsiasi valore) , effettuando l'assegnazione a tali valori è dopo possibile giungere ad una soluzione particolare del sistema lineare. Inoltre se ho capito bene , già il fatto di avere $m $ equazioni , in $n$ incognite con $mm$ . Le soluzioni sono quindi per il caso considerato ,sempre almeno $ , oo^(1) $ , in generale se abbiamo $n-rank(A)$ parametri liberi avremo un infinità di soluzioni elevata a $n-rank(A)$. Dal punto di vista geometrico ci accorgiamo che le spazio generato dalla combinazione lineare dei vettori colonna linearmente indipendenti, della matrice dei coefficienti, dovrà contenere il vettore risultante da [$b$-(i vettori dipendendenti da $n-rank(A)$ parametri liberi) ]. E' esatto?? sarei curioso di leggere anche la tua spiegazione...Grazie Paola

[Linux1987]

Un'altra cosa , il caso $m>n$ ossia il caso in cui abbiamo $n$ vettori di $R^m$, da un punto di vista geometrico affinchè $b$ sia combinazione lineare degli $n$ vettori, $b$ dovrà essere combinazione lineare di questi ultimi, tale caso rientra nel primo caso di rouchè capelli?? Solo che in questo caso le colonne della matrice non costituiscono una base dello spazio vettoriale in quanto $m>n$ e quindi non possono generarlo tutto e quindi in questo caso non è detto che il sistema ammetta sempre soluzione in quanto è possibile che b non risieda nello stesso spazio dei due vettori e quindi i ranghi della matrice completa sarà maggiore di quello della matrice dei coefficienti.E' esatto??

[Linux1987]

"pasqualinux":Il caso indeterminato si verifica qualora il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta, ma tale rango è minore del numero di incognite, questo vale a dire che il numero di colonne linearmente indipendenti della matrice dei coefficienti è minore del numero di incognite, e che quindi nella matrice dei coefficienti vi sono $n-rank(A)$ colonne linearmente dipendenti, quindi avremo $Rank(A)$ incognite dipendenti, ed $n-rank(A)$ incognite libere (ossia che gli può essere assegnato un qualsiasi valore) , effettuando l'assegnazione a tali valori è dopo possibile giungere ad una soluzione particolare del sistema lineare. Inoltre se ho capito bene , già il fatto di avere $m $ equazioni , in $n$ incognite con $mm$ . Le soluzioni sono quindi per il caso considerato ,sempre almeno $ , oo^(1) $ , in generale se abbiamo $n-rank(A)$ parametri liberi avremo un infinità di soluzioni elevata a $n-rank(A)$. Dal punto di vista geometrico ci accorgiamo che le spazio generato dalla combinazione lineare dei vettori colonna linearmente indipendenti, della matrice dei coefficienti, dovrà contenere il vettore risultante da [$b$-(i vettori dipendendenti da $n-rank(A)$ parametri liberi) ]. E' esatto?? sarei curioso di leggere anche la tua spiegazione...Grazie Paola

Qualcuno mi dice che ne pensa di questa spiegazione! @Prime_number vorrei anche leggere la tua risposta se puoi , grazie

[_prime_number]

Mi sembra corretto ed esaustivo. Ti lascia aperto qualche dubbio?

Paola

[Linux1987]

L'unico dubbio aperto è questo: le incognite libere possono essere assegnati valori a nostro piacimento, ma che senso ha sommargli ad esempio le soluzioni non banali del sistema omogeneo associato, per ottenere altre soluzioni?
Mi spiego meglio $Ax=b$ indeterminato , risolvendo $Ay=0$ otteniamo lo spazio nullo di A, sommando y otteniamo$ A(x+y)=b$ quello che adesso io mi chiedo e perchè usiamo questa tecnica per avere altre soluzioni se impostando i parametri liberi possiamo scegliere noi?

[_prime_number]

Sono solo due modi equivalenti di trovare/scrivere tutte le soluzioni del sistema, scegli quello che preferisci.

Paola