Chiarimento sui gruppi quoziente

[valerio19961]

Ciao a tutti volevo chiedervi un chiarimento su un affermazione riportata nelle dispense da cui studio, ossia il perchè del secondo caso non capisco come mai il gruppo quoziente di Z rispetto a Z stesso è dato da un solo elemento ed è il gruppo banale, mi potreste aiutare?
vi ringrazio in anticipo

Sia (Z,+) il gruppo additivo degli interi. Fissato un intero n, consideriamo il sottogruppo ciclico generato da n (normale) che chiamiamo N: esso consiste di tutti i multipli di n, cioè gli interi della forma {hn, h ∈Z}= nZ

Considero tre casi distinti( qui ne riporto solo due):
1. Se n = 0, il sottogruppo N è ridotto alla sola unità di (Z,+). Quando considero il quoziente Z/(0∗Z) esso coincide con l’intero gruppo Z. Questo quoziente è isomorfo a G. In generale, se prendo un qualsiasi gruppo G e ne faccio il quoziente rispetto al sottogruppo contenente solo l’unità, esso è isomorfo a G.
2. se n =1,−1 allora N = Z, il gruppo quoziente di Z rispetto a Z stesso è dato da un solo elemento ed è il gruppo banale. E’ isomorfo al sottogruppo generato dall’unità di Z.

[apatriarca]

Direi che è una conseguenza abbastanza immediata dalla definizione di gruppo quoziente. Se fai il quoziente di un gruppo per se stesso ogni elemento apparterrà alla stessa classe di equivalenza e l'unico gruppo con un solo elemento è quello banale.