Chiarimento su un teorema il cui risultato viene utilizzato nel teorema del condizionamento di un sistema lineare
Salve, vorrei chiedervi un chiarimento su due passaggi della dimostrazione del seguente teorema.
Data una norma matriciale indotta, tale che $|A|<1$ allora $I+A$ è non singolare, e $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$.
La dimostrazione è la seguente:
Dimostriamo che $I+A$ è non singolare.
$|A|<1$ -> $\rho(A)<1$,
gli autovalori di $I+A$ sono della forma $1+\lambda_{i}$ con $\lambda_{i}$ autovalori di $A$.
Considero la relazione $(I+A)(I+A)^{-1}=I$
ed espandendo il prodotto:
(non capisco come si arrivi ad avere la relazione nel seguente passaggio ed è il primo passaggio che non capisco e che contrassegno con asterisco)
$(I+A)^{-1}+A(I+A)^{-1}=I$*
Poi si ha ancora che
$(I+A)^{-1}=I-A(I+A)^{-1}$
$|(I+A)^{-1}|=|I-A(I+A)^{-1}|<=|I|+|A|*|(I+A)^{-1}|$
e $|I|=1$ perchè sto considerando una norma matriciale indotta.
(Il seguente è il secondo passaggio, contrassegnato con doppio asterisco **, che non capisco, perché vale questa disuguaglianza?)
$(1-|A|)*|(I+A)^{-1}|<=1$**
Poichè $1-|A|>0$, allora $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$
Vi ringrazio in anticipo!
Data una norma matriciale indotta, tale che $|A|<1$ allora $I+A$ è non singolare, e $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$.
La dimostrazione è la seguente:
Dimostriamo che $I+A$ è non singolare.
$|A|<1$ -> $\rho(A)<1$,
gli autovalori di $I+A$ sono della forma $1+\lambda_{i}$ con $\lambda_{i}$ autovalori di $A$.
Considero la relazione $(I+A)(I+A)^{-1}=I$
ed espandendo il prodotto:
(non capisco come si arrivi ad avere la relazione nel seguente passaggio ed è il primo passaggio che non capisco e che contrassegno con asterisco)
$(I+A)^{-1}+A(I+A)^{-1}=I$*
Poi si ha ancora che
$(I+A)^{-1}=I-A(I+A)^{-1}$
$|(I+A)^{-1}|=|I-A(I+A)^{-1}|<=|I|+|A|*|(I+A)^{-1}|$
e $|I|=1$ perchè sto considerando una norma matriciale indotta.
(Il seguente è il secondo passaggio, contrassegnato con doppio asterisco **, che non capisco, perché vale questa disuguaglianza?)
$(1-|A|)*|(I+A)^{-1}|<=1$**
Poichè $1-|A|>0$, allora $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
CIa0, benvenuta.
Nel primo passaggio ha semplicemente svolto il prodotto, nel secondo ha spostato a sinistra il secondo addendo... ti trovi?
Che norma matriciale stai usando?
Nel primo passaggio ha semplicemente svolto il prodotto, nel secondo ha spostato a sinistra il secondo addendo... ti trovi?
Che norma matriciale stai usando?
Grazie mille per le spiegazioni, finalmente ho capito il passaggio che mi sfuggiva nel secondo caso. Per quanto riguarda il primo dubbio, potresti esplicitarmi i passaggi della moltiplicazione perché in questo momento non mi ritrovo. Ho enunciato questo teorema facendo riferimento ad una qualsiasi norma di matrice indotta. Ti ringrazio ancora!
@mariafrancesca
Armando ti ha già risposto, però se vuoi puoi consultare il libro di Quarteroni - Matematica numerica. Non ce l'ho sotto mano, ma so per certo che questa dimostrazione è svolta nel primo capitolo.
Armando ti ha già risposto, però se vuoi puoi consultare il libro di Quarteroni - Matematica numerica. Non ce l'ho sotto mano, ma so per certo che questa dimostrazione è svolta nel primo capitolo.
Chiama $B = (I+A)^{-1}$.
Hai $(I+A)B = I$. Da cui $B+AB = I$. Cioè, riscrivendo $B=(I+A)^{-1}$: $$(I+A)^{-1} + A (I+A)^{-1} = I$$
Hai $(I+A)B = I$. Da cui $B+AB = I$. Cioè, riscrivendo $B=(I+A)^{-1}$: $$(I+A)^{-1} + A (I+A)^{-1} = I$$
Ovviamente nell'ipotesi che $(I+A)$ sia invertibile
"mariafrancesca12":
(non capisco come si arrivi ad avere la relazione nel seguente passaggio ed è il primo passaggio che non capisco e che contrassegno con asterisco)
$(I+A)^{-1}+A(I+A)^{-1}=I$*
Fai il conto scrivendo
\[
\frac{I}{I+A}=(I+A)^{-1}.\]
Adesso capirai immediatamente cosa sta succedendo. Non scrivere una cosa del genere in un esame! Ma è molto utile per farsi una idea.
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