Chiarimento su sottospazi ortogonali

[sdrabb1]

scusate il disturbo necessito di un chiarimento:
sul mio ribro tra le preposizioni c'è scritto che ogni spazio euclideo $ V $ di dimensione finita si può rappresentare come somma diretta di un suo sottospazio vettoriale $ W $ e di $ W^_|_ $ .


Allora mi chiedevo supponendo di avere una app lineare $ L $, poichè il $ Ker(L) $ è un sottospazio dello spazio di partenza
che suppongo sia $ W $
è giusto dire che: $ dim V=dim Ker(L)+(dimker(L))^_|_ $ ?
grazie

[Pappappero1]

Come definisci $W^_|_$. Per uno spazio vettoriale qualsiasi $V$ con un sottospazio $W$ infatti questa definizione non è canonica, in quanto usa un'identificazione di $W$ con il suo duale o equivalentemente un prodotto scalare su $V$.

Comunque, con le dovute identificazioni, e con le parentesi messe bene, $ dim V=dim Ker(L)+dim (ker(L)^_|_) $. Con le dovute identificazioni se ne deduce che $ker (L)^_|_ $ è isomorfo a $Im L$.