Chiarimento su similitudine fra matrici

[mike1011]

Salve,
esiste un esercizio sul mio libro che mostra la similitudine fra la matrice $A=((0,-1),(1,0))$ e la matrice $ B=((0,1),(-1,0)) $ solo che è spiegato male e volevo procedere in un'altra maniera:
sò che due matrici sono simili se hanno stesso rango, stesso determinante e stessa traccia; inoltre devono rappresentare la stessa applicazione lineare in basi diverse...bene.

Calcolando, le matrici $A$ e $B$ hanno stesso rango, stesso determinante e stessa traccia. Ora rimane solo da verificare che rappresentano la stessa applicazione lineare su basi diverse.

Una proprietà dice che un'applicazione lineare è univocamente determinata conoscendo le immagini dei vettori della sua base.

Scelgo come base dell'applicazione della matrice $A$ i vettori della sua base canonica, ossia $ ( ( 1 ),( 0 ) ) $ e $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $; calcolando le loro immagini ottengo i vettori $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ e $ ( ( -1 ),( 0 ) ) $

Scelgo come base dell'applicazione della matrice $B$ i vettori $ ( ( -1 ),( 0 ) ) $ e $ ( ( 1 ),( 1 ) ) $; calcolando le loro immagini ottengo i vettori $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ e $ ( ( 1 ),( -1 ) ) $

I vettori ottenuti da $A$ ed i vettori di $B$ sono diversi!!! Quindi le due matrici non possono essere simili...dove sbaglio?



Ringrazio anticipatamente per le risposte

[_prime_number]

Sbagli nella supposizione iniziale. Se due matrici sono simili allora hanno stessa traccia, stesso determinante e stesso rango... ma non è detto il viceversa.

Paola

[mike1011]

Sbagli nella supposizione iniziale. Se due matrici sono simili allora hanno stessa traccia, stesso determinante e stesso rango... ma non è detto il viceversa.

Ok, ma almeno devono rappresentare la stessa applicazione lineare, e se i miei calcoli sono esatti, non lo rappresenta poichè le immagini delle basi sono diverse...