Chiarimento su dimostrazione "Lemma Di Steinitz"

[stranigno]

Buongiorno, potete aiutarmi a capire l'ultimo passaggio della dimostrazione del Lemma Di Steinitz?

L'ho trovata su wikipedia ed è anche molto chiara, ma alla fine non riesco a capire la dimostrazione.

http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Steinitz

Quando dice:

Iterando il procedimento n volte si ottiene come insieme di generatori un insieme di generatori . È quindi possibile scrivere:

il che è contro l'ipotesi che i vettori di A fossero linearmente indipendenti.

Non riesco a capire, perché è contro l'ipotesi?
Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.
Grazie

[dissonance]

Perché se fosse così allora

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_n + (-1)a_{n+1}=0,\]

una combinazione lineare nulla non banale.

[stranigno]

"dissonance":Perché se fosse così allora

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_n + (-1)a_{n+1}=0,\]

una combinazione lineare nulla non banale.

E quindi ciò significherebbe che il nuovo sistema di generatori sia linearmente dipendente, il che non è possibile. Giusto?

[dissonance]

Non so come procede la dimostrazione. Rispondo solo alla tua domanda: dire che \(a_{n+1}=a_1+\ldots+a_n\) implica che \(a_1 \ldots a_{n+1}\) sono linearmente dipendenti. Questo certamente è vero, ora devi stabilire tu come usare questa informazione per concludere la dimostrazione.