Chiarimento notazione di Einstein
Salve.
Sono alle prese con la notazione di Einsten. Ho fatto qualche ricerca e credo di aver compreso il ragionamento. Tuttavia leggendo un documento scientifico che utilizza tale notazione, non mi è chiarissimo come la utilizzi con alcuni termini. Ad esempio il termine:
[size=150]u[/size][size=80]l,kk[/size][size=150]u[/size][size=80]l,i[/size]
o il termine
[size=150]u[/size][size=80]k,l[/size][size=150]u[/size][size=80]k,l[/size]
come si scriverebbero utilizzando il normale simbolo di sommatoria?
Grazie in anticipo.
Sono alle prese con la notazione di Einsten. Ho fatto qualche ricerca e credo di aver compreso il ragionamento. Tuttavia leggendo un documento scientifico che utilizza tale notazione, non mi è chiarissimo come la utilizzi con alcuni termini. Ad esempio il termine:
[size=150]u[/size][size=80]l,kk[/size][size=150]u[/size][size=80]l,i[/size]
o il termine
[size=150]u[/size][size=80]k,l[/size][size=150]u[/size][size=80]k,l[/size]
come si scriverebbero utilizzando il normale simbolo di sommatoria?
Grazie in anticipo.
Risposte
Sono tutti al pedice, ve li ho riportati così come sono scritti sul documento in questione.
Non so se è questo il caso, ma $\overline{u}_{l,kk}=\frac{\partial^2 u_l}{\partial k^2}$.
Ciao Bowen93,
Tornando alla tua domanda iniziale
sarei per
$ \sum_{l \in L} \frac{\partial^2 U_l}{\partial k^2} \frac{\partial U_l}{\partial i} $
e
$ \sum_{k \in K, l \in L} \frac{\partial U_k}{\partial l}\frac{\partial U_k}{\partial l} $
Tornando alla tua domanda iniziale
"Bowen93":
come si scriverebbero utilizzando il normale simbolo di sommatoria?
sarei per
$ \sum_{l \in L} \frac{\partial^2 U_l}{\partial k^2} \frac{\partial U_l}{\partial i} $
e
$ \sum_{k \in K, l \in L} \frac{\partial U_k}{\partial l}\frac{\partial U_k}{\partial l} $
"Bowen93":
leggendo un documento scientifico […]
Quale?
A volte il contesto è importante.
"gugo82":
[quote="Bowen93"] leggendo un documento scientifico […]
Quale?
A volte il contesto è importante.[/quote]
Un documento riguardante la teoria del metodo Nonlinear SAFE (Semi-Analytical Finite Element).
Vi ringrazio comunque dell'aiuto
Credo che, tendenzialmente, si somma sugli indici alti e bassi nei contesti non-euclidei, mentre in geometria euclidea questa distinzione non è importante.
In generale in geometria si usa alzare ed abbassare gli indici usando la metrica; ad esempio, il tensore \(T_{ij}\) si ottiene dal tensore \(T^i{}_j\) come segue:
\[
T_{ij}=\sum_h T^h{}_j g_{hi}.\]
Succede quindi che ci può essere ambiguità in una scrittura come \(T_{ij}\omega_i\); può significare
\[\tag{*}
\sum_i T_{ij}\omega_i\quad \text{oppure}\quad \sum_i\sum_h T^h{}_j g_{hi}\omega_i.\]
Ora, in geometria euclidea lo spazio ambiente è \(\mathbb R^n\), con la metrica \(g_{ij}=\delta_{ij}\), la matrice identica. Di conseguenza entrambe le scritture nell'equazione (*) coincidono. Ecco perché nei contesti euclidei uno può permettersi di scrivere \(T_{ij}\omega_i\) senza preoccuparsi di dare ulteriori spiegazioni.
In generale in geometria si usa alzare ed abbassare gli indici usando la metrica; ad esempio, il tensore \(T_{ij}\) si ottiene dal tensore \(T^i{}_j\) come segue:
\[
T_{ij}=\sum_h T^h{}_j g_{hi}.\]
Succede quindi che ci può essere ambiguità in una scrittura come \(T_{ij}\omega_i\); può significare
\[\tag{*}
\sum_i T_{ij}\omega_i\quad \text{oppure}\quad \sum_i\sum_h T^h{}_j g_{hi}\omega_i.\]
Ora, in geometria euclidea lo spazio ambiente è \(\mathbb R^n\), con la metrica \(g_{ij}=\delta_{ij}\), la matrice identica. Di conseguenza entrambe le scritture nell'equazione (*) coincidono. Ecco perché nei contesti euclidei uno può permettersi di scrivere \(T_{ij}\omega_i\) senza preoccuparsi di dare ulteriori spiegazioni.
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