CHIARIMENTO ESERCIZIO

[fifaessi]

Salve vorrei un aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
In R3 sono dati i seguenti vettori rispetto alla base canonica: $v_1 = (1,2,0)$,$v_2 = (1,0,1)$,$v_3 = (−1,0,−2)$.
Sia $B = {v1,v2,v3}$ e $C$ la base canonica.
Si consideri il seguente endomorfismo $f$ di $RR^3->RR^3$ tale che:

$f(v_1) = v_1 + v_2$
$f(v_2) = 2v_1 −v_2 $
$f(v3) = −v_2 + v_3$

Si determini:
i) La matrice $M_(BB) (f)$ e la matrice $M_(C C) (f)$ (3 punti);
ii) Una base del $Ker(f)$ e di $Im(f)$ (3 punti);
iii) Stabilire se $f$ è diagonalizzabile, indicando l’eventuale base di autovettori e la forma diagonale corrispondente (4 punti).
Non riesco a capire che intende per matrice $M_(BB) (f)$ e matrice $M_(C C)(f)$. Il resto è semplice.

[Magma1]

"dotor46":Salve vorrei un aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
In R3 sono dati i seguenti vettori rispetto alla base canonica: $v_1 = (1,2,0)$,$v_2 = (1,0,1)$,$v_3 = (−1,0,−2)$.
Sia $B = {v1,v2,v3}$ e $C$ la base canonica.
Si consideri il seguente endomorfismo $f$ di $RR^3->RR^3$ tale che:

$f(v_1) = v_1 + v_2$
$f(v_2) = 2v_1 −v_2 $
$f(v3) = −v_2 + v_3$

Si determini:
i) La matrice $M_(BB) (f)$ e la matrice $M_(C C) (f)$ (3 punti);
ii) Una base del $Ker(f)$ e di $Im(f)$ (3 punti);
iii) Stabilire se $f$ è diagonalizzabile, indicando l’eventuale base di autovettori e la forma diagonale corrispondente (4 punti).
Non riesco a capire che intende per matrice $M_(BB) (f)$ e matrice $M_(C C)(f)$. Il resto è semplice.

La prossima volta potresti scrivere più ordinato e con le formule tra i dollaroni?

La matrice rappresentativa rispetto alla base $mathcal (A)$ per $f$ è la matrice avente per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcal (A)$ rispetto alla stessa base $mathcal (A)$.

[fifaessi]

"Magma":[quote="dotor46"]Salve vorrei un aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
In R3 sono dati i seguenti vettori rispetto alla base canonica: $v_1 = (1,2,0)$,$v_2 = (1,0,1)$,$v_3 = (−1,0,−2)$.
Sia $B = {v1,v2,v3}$ e $C$ la base canonica.
Si consideri il seguente endomorfismo $f$ di $RR^3->RR^3$ tale che:

$f(v_1) = v_1 + v_2$
$f(v_2) = 2v_1 −v_2 $
$f(v3) = −v_2 + v_3$

Si determini:
i) La matrice $M_(BB) (f)$ e la matrice $M_(C C) (f)$ (3 punti);
ii) Una base del $Ker(f)$ e di $Im(f)$ (3 punti);
iii) Stabilire se $f$ è diagonalizzabile, indicando l’eventuale base di autovettori e la forma diagonale corrispondente (4 punti).
Non riesco a capire che intende per matrice $M_(BB) (f)$ e matrice $M_(C C)(f)$. Il resto è semplice.

La prossima volta potresti scrivere più ordinato e con le formule tra i dollaroni?

La matrice rappresentativa rispetto alla base $mathcal (A)$ per $f$ è la matrice avente per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcal (A)$ rispetto alla stessa base $mathcal (A)$.[/quote]

Chiedo scusa per la scrittura.
Ho capito e per quanto riguarda $M_(C C)(f)$?
Grazie mille per la risposta.

[Magma1]

Stessa cosa! Ho usato una base $mathcal (A)$ (non $mathcal (B)$ né $mathcal (C)$) apposta per farti capire che è una definizione valida per ogni base di $f$.

Ovviamente quale ti conviene calcolare per prima?

[fifaessi]

"Magma":Stessa cosa! Ho usato una base $mathcal (A)$ (non $mathcal (B)$ né $mathcal (C)$) apposta per farti capire che è una definizione valida per ogni base di $f$.

Ovviamente quale ti conviene calcolare per prima?

Ho capito, ma non riesco a capire cosa si intende per canonica.

[Magma1]

La basa canonica è la base più semplice che esista! Un sinonimo è base naturale; possibile che non l'hai mai sentita?

In ogni caso, la base canonica di $RR^3$ è ${e_1, e_2, e_3}={((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

[fifaessi]

"Magma":La basa canonica è la base più semplice che esista! Un sinonimo è base naturale; possibile che non l'hai mai sentita?

In ogni caso, la base canonica di $RR^3$ è ${e_1, e_2, e_3}={((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

Si, certo, l'ho sentita. Quindi basta scrivere questa senza tener conto dei vettori e degli altri dati forniti dalla traccia?

[Magma1]

"dotor46":[quote="Magma"]La basa canonica è la base più semplice che esista! Un sinonimo è base naturale; possibile che non l'hai mai sentita?

In ogni caso, la base canonica di $RR^3$ è ${e_1, e_2, e_3}={((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

Si, certo, l'ho sentita. Quindi basta scrivere questa senza tener conto dei vettori e degli altri dati forniti dalla traccia?[/quote]

Devi applicare la definizione di base

"Magma":
La matrice rappresentativa rispetto alla base $ mathcal (A) $ per $ f $ è la matrice avente per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $ mathcal (A) $ rispetto alla stessa base $ mathcal (A) $.

In soldoni, per trovare la matrice $M_(C C) (f)$ occorre trovare le immagini dei vettori ${((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

$e_1=2v_2+v_3 rArr f(e_1)=f(2v_2+v_3)$

$e_2=1/2v_1-v_2-1/2v_3 rArr f(e_2)=f(1/2v_1-v_2-1/2v_3)$

$e_3=-2v_2-2v_3 rArr f(e_3)=f(-2v_2-2v_3)$

Sai proseguire il conto? Quale proprietà puoi sfruttare?

Una volta trovare le immagini, le deve scrive come CL della stessa base canonica $C$ [nota]N.B. Quali sono le componenti di un vettore qualsiasi rispetto alla base canonica?[/nota], ed in seguito porle in colonna.

[fifaessi]

"Magma":[quote="dotor46"][quote="Magma"]La basa canonica è la base più semplice che esista! Un sinonimo è base naturale; possibile che non l'hai mai sentita?

In ogni caso, la base canonica di $RR^3$ è ${e_1, e_2, e_3}={((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

Si, certo, l'ho sentita. Quindi basta scrivere questa senza tener conto dei vettori e degli altri dati forniti dalla traccia?[/quote]

Devi applicare la definizione di base

"Magma":
La matrice rappresentativa rispetto alla base $ mathcal (A) $ per $ f $ è la matrice avente per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $ mathcal (A) $ rispetto alla stessa base $ mathcal (A) $.

In soldoni, per trovare la matrice $M_(C C) (f)$ occorre trovare le immagini dei vettori ${((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$

$e_1=2v_2+v_3 rArr f(e_1)=f(2v_2+v_3)$

$e_2=1/2v_1-v_2-1/2v_3 rArr f(e_2)=f(1/2v_1-v_2-1/2v_3)$

$e_3=-2v_2-2v_3 rArr f(e_3)=f(-2v_2-2v_3)$

Sai proseguire il conto? Quale proprietà puoi sfruttare?

Una volta trovare le immagini, le deve scrive come CL della stessa base canonica $C$ [nota]N.B. Quali sono le componenti di un vettore qualsiasi rispetto alla base canonica?[/nota], ed in seguito porle in colonna.[/quote]

Scusami, ma non capisco come fai a calcolare le immagini dei vettori potresti spiegarmi un attimo come fai a calcolarli e magari anche il risultato finale così provo.

[Magma1]

Allora

$e_1=alphav_1+betav_2+gammav_3 hArr ((1),(0),(0))=alpha((1),(2),(0))+beta((1),(0),(1))+gamma ((−1),(0),(−2)) hArr { ( alpha+beta-gamma=1 ),(2alpha=0),( beta-2gamma=0 ):}$

E questo calcolo noioso va fatta anche per $e_2, e_3$


Ora, sai che

$f(v_1) = v_1 + v_2=((2),(2),(1))$

$f(v_2) = 2v_1 −v_2=((1),(4),(-1)) $

$f(v3) = −v_2 + v_3=((-2),(0),(-3))$

e per trovare le immagini, puoi sfruttare la linearità

a) $f(e_1)=f(2v_2+v_3)=$

$=2f(v_2)+f(v_3)=((0),(8),(-4))$


b) $f(e_2)=f(1/2v_1-v_2-1/2v_3)=$

$=1/2 f(v_1)-f(v_2)-1/2f(v_3)=((1),(-3),(3)) $


c) $f(e_3)=f(-2v_2-2v_3)=$

$=-2f(v_2)-2f(v_3)=((6),(8),(4))$

Quindi disponendo in colonna le componenti, rispetto alla base canonica, di ciascun immagine si ottiene

$M_(C C) (f)=( ( 0 , 1 , 6 ),( 8 , -3 , 8 ),( -4 , 3 , 4 ) )$

Spero di non aver sbagliato i calcoli

[fifaessi]

"Magma":Allora

$e_1=alphav_1+betav_2+gammav_3 hArr ((1),(0),(0))=alpha((1),(2),(0))+beta((1),(0),(1))+gamma ((−1),(0),(−2)) hArr { ( alpha+beta-gamma=1 ),(2alpha=0),( beta-2gamma=0 ):}$

E questo calcolo noioso va fatta anche per $e_2, e_3$


Ora, sai che
$f(v_1) = v_1 + v_2=((2),(2),(1))$

$f(v_2) = 2v_1 −v_2=((1),(4),(-1)) $

$f(v3) = −v_2 + v_3=((-2),(0),(-3))$

[Magma1]

"dotor46":
Tutto chiaro il procedimento, ma dopo aver fatto

$e_1=alphav_1+betav_2+gammav_3 hArr ((1),(0),(0))=alpha((1),(2),(0))+beta((1),(0),(1))+gamma ((−1),(0),(−2)) hArr { ( alpha+beta-gamma=1 ),(2alpha=0),( beta-2gamma=0 ):}$

Non devo poi direttamente cercare le varie funzioni ad esempio:

a) $f(e_1)=f(4v_1-3v_2+v_3)=$

$=4f(v_1)+3f(v_2)+f(v_3)=((4),(-3),(-1))$
Non è così? Non devo prendere i "coefficienti" delle v ma devo sommare i vettori che mi da come richiesto nella funzione che mi trovo?

Aspetta. Ieri andavo un po' di corsa.

Allora, hai la base $B={v_1,v_2,v_3} $, $ f : RR^3->RR^3 $ tale che

$ f(v_1) = v_1 + v_2 $

$ f(v_2) = 2v_1 −v_2 $

$ f(v3) = −v_2 + v_3 $

Sai che i vettori di uno spazio possono essere scritti come CL di una base, quindi, per il caso di $e_1$ avremo:

$e_1=alphav_1+betav_2+gammav_3 hArr ((1),(0),(0))=alpha((1),(2),(0))+beta((1),(0),(1))+gamma ((−1),(0),(−2)) hArr { ( alpha+beta-gamma=1 ),(2alpha=0),( beta-2gamma=0 ):} hArr { ( alpha=0 ),(beta=2),( gamma=1 ):}$

cioè

$e_1=2v_2+v_3$

e, per trovare l'immagine, applichiamo $f$ e usiamo la linearità:

$f(e_1)=f(2v_2+v_3)=$

$=2f(v_2)+f(v_3)=$

$=2(2v_1-v_2)+(-v_2+v_3)=$

$4v_1-3v_2+v_3=((0),(8),(-5))$

(Già un errore di calcolo salta fuori )

Quindi $f(e_1)=((0),(8),(-5))$

e, visto che la definizione di matrice rappresentativa richiede che siano poste in colonna le componenti delle immagini dei vettori, rispetto alla stessa base, non ci manca che ricavare tali componenti:

$((0),(8),(-5))=alpha ((1),(0),(0))+beta((0),(1),(0))+gamma((0),(0),(1))= { ( alpha=0 ),( beta=8 ),( gamma=-5 ):}$

$[e_1]_C=((alpha),(beta),(gamma))=((0),(8),(-5))$

Quindi lo disponiamo nella matrice:

$M_(C C)(f)=( ( 0 , ? , ? ),( 8 , ? , ? ),( -5 , ? , ? ) ) $

[fifaessi]

Ok. Grazie mille, mi è tutto chiaro. Il mio dubbio era se calcolare mettendo le componenti dei vettori o prendere i loro coefficienti tipo
$f(e_1)=4v_1-3v_2+v_3$
$M_(C C)(f)=( ( 4 , ? , ? ),( -3 , ? , ? ),( 1 , ? , ? ) ) $
Il mio dubbio nasceva perchè nell'altra matrice vengono messi i coefficienti, confermi questo? Cioè
$M_(B B)(f)=( (1,2,0),(1,-1,-1),(0,0,1) )$

[Magma1]

"dotor46":Ok. Grazie mille, mi è tutto chiaro. Il mio dubbio era se calcolare mettendo le componenti dei vettori o prendere i loro coefficienti tipo
$f(e_1)=4v_1-3v_2+v_3$
$M_(C C)(f)=( ( 4 , ? , ? ),( -3 , ? , ? ),( 1 , ? , ? ) ) $

Ehm... le componenti di $f(e_1)$ devono essere rispetto alla base $C$!

Mentre $((4),(-3),(1))$ sono le componenti di $f(e_1)$ rispetto alla base $B$.

"dotor46":

Il mio dubbio nasceva perchè nell'altra matrice vengono messi i coefficienti, confermi questo? Cioè
$M_(B B)(f)=( (1,2,0),(1,-1,-1),(0,0,1) )$

Esattamente

[fifaessi]

Ah perfetto allora, grazie ancora.

[Magma1]

Ovviamente dipende se devi trovare una matrice rappresentativa o una matrice del cambiamento di base!