Chiarimenti sulle componenti di un vettore e sul modo di rappresentarlo in R^n
Se consideriamo un vettore di R^n possiamo scrivere x=(x1, X2,..,Xn), dove queste ultime sono le componenti del vettore rispetto alla base canonica. In generale, si scrive mai in R^n un vettore come uguale all'n-pla delle sue componenti rispetto a un'altra base? Mi spiego meglio: data una base, che non sia quella canonica, rispetto alla quale il vettore di prima ha componenti (a1,...,an) si può scrivere (o comunque si usa farlo) x=(a1,...,an)? specificando ovviamente che si parla di una base differente da quella canonica. Oppure ci si limita a definire il vettore a=(a1,...an) come il vettore delle componenti di x rispetto a tale base, con x diverso da a?
Mi interesserebbe sapere come funziona tutto questo sia in R^n, come nel mio esempio, che per uno spazio vettoriale V quanto più possibile generico.
Un ultima domanda: le proiezioni canoniche sono funzioni definite solo per V=R^n o anche per uno spazio vettoriale V in generale? Grazie in anticipo.
Mi interesserebbe sapere come funziona tutto questo sia in R^n, come nel mio esempio, che per uno spazio vettoriale V quanto più possibile generico.
Un ultima domanda: le proiezioni canoniche sono funzioni definite solo per V=R^n o anche per uno spazio vettoriale V in generale? Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao!
La tua confusione forse origina dal fatto che, negli spazi \( \mathbb{K}^n \), i punti sono essi stessi \( n \)-uple del campo \( \mathbb{K} \): \( (1,2,3)\in\mathbb{R}^3 \) (il punto, come se "dimenticassimo la struttura") è \( (a_1,a_2,a_3)_{\text{qualche altra base}} \) in qualche altra base, ma il vettore \((a_1,a_2,a_3)\) (nella base canonica) generalmente non è lo stesso ragazzo di \((a_1,a_2,a_3)\), il vettore che incarna \( (1,2,3) \) in un'altra base.
"Carmine12":Considera uno spazio vettoriale \( V \), \( \mathcal V = \{v_i\}_{i=1,\dots,n} \) base e un vettore \( v\in V \). Il nostro \( v \) può essere scritto come \( a_1v_1+\dots+a_nv_n \), dove \( a_i\in\mathbb{K} \) per \(i=1,\dots,n\). Possiamo associare \(v\) un('unic)a \(n\)-upla di \( \mathbb{K} \)? Se \( x_1,\dots,x_n \), \( y_1,\dots,y_n \) sono elementi di \( \mathbb K \) tali che \( \sum_{i=1}^n x_iv_i=\sum y_iv_i \), vedi immediatamente che \( x_i=y_i \) per \(i=1,\dots,n\), quindi l'identificazione di vettori e \( n \)-uple.
si può scrivere (o comunque si usa farlo) x=(a1,...,an)?
La tua confusione forse origina dal fatto che, negli spazi \( \mathbb{K}^n \), i punti sono essi stessi \( n \)-uple del campo \( \mathbb{K} \): \( (1,2,3)\in\mathbb{R}^3 \) (il punto, come se "dimenticassimo la struttura") è \( (a_1,a_2,a_3)_{\text{qualche altra base}} \) in qualche altra base, ma il vettore \((a_1,a_2,a_3)\) (nella base canonica) generalmente non è lo stesso ragazzo di \((a_1,a_2,a_3)\), il vettore che incarna \( (1,2,3) \) in un'altra base.
Ti ringrazio per la risposta molto chiara ed esaustiva.
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