Chiarimenti sulla fattorizzazione QR

[nulla_di_certo]

Salve a tutti,
avrei bisogno di qualche chiarimento in merito all'oggetto.

Ho studiato il metodo di Householder come strumento per la fattorizzazione vera e propria, ho realizzato l'algoritmo e relativo codice in C ( non rigoroso, solo per verificare la correttezza delle mie supposizioni ), ma non mi tornano del tutto i conti. Mi spiego meglio:

Eseguita la fattorizzazione e trovate le 2 matrici Q e R dovrei verificare le seguenti proprietà:

1) Q è ortogonale ( OK )
2) R è triangolare superiore ( OK )
3) R e A sono simili ( NO ), o meglio hanno si stesso determinate, ma presentano autovalori differenti.....

Come mai???
Il mio è un errore legato al calcolo o c'è qualche concetto che mi sfugge o che non conosco?

Grazie ciao

[dissonance]

E' un errore di concetto. Perché dovrebbero essere simili $R$ ed $A$? Mutatis mutandis è lo stesso errore di cui si parlava qui, relativamente alla fattorizzazione LU (più precisamente al metodo di eliminazione di Gauss), invece che QR.

[nulla_di_certo]

Hai ragione, ho detto una emerita "frolloccata"!!!
Il fatto è che ci sbatto la testa da un po e mi sto rincretinendo. Ti chiedo scusa.

Però, sono sempre in alto mare. Ti spiego perchè:

La fattorizzazione $ A = QR $, genera una successione di matrici , $ { Ak } $, con $ Ak = Qk Rk $.
Se definiamo $ A(k+1) := Rk Qk $, segue:

$ A(k+1) = QTk Ak Qk $, il che significa che le matrici $ { Ak } $ sono simili e che tale successione converge ad una matrice triangolare ( sotto opportune ipotesi ).

Tutto questo mi è chiaro e mi convince, anche se le "opportune condizioni" non riesco a capire quali siamo. Ho provato con una matrice 2x2, ma non arrivo ad una matrice triangolare.
E questo mi preoccupa!

Vi scrivo il link da cui ho appreso le nozioni :

http://www.cs.unibo.it/pub/spaletta/dispensa4bis.pdf pag. 48

Grazie