Chiarimenti sul determinante.

[galles90]

Buongiorno,

sto studiando il determinante di una matrice quadrata di ordine $n$, definito nel seguete modo:
Sia $A$ matrice quadrata di ordine $n$ sul campo $K$, dicesi determinante di $A$ la somma
$detA=sum_sigma segn(sigma)alpha_(1sigma_1)*...*alpha_(nsigma_n).$

Volevo chiarire, la seguente proprietà:
si fissa una permutazione $ beta in S_n$ e considerato uno degli addendi del $detA$, esiste una unica permutazione $gamma in S_n$, tale che $alpha_(1sigma_1)*...*alpha_(nsigma_n)=alpha_(beta_1gamma_1)*...*alpha_(beta_ngamma_n)$ e si ha che il $segn(sigma)=segn(betagamma)$

Volevo chiarire quanto detto.


Cordiali saluti.

[galles90]

Aggiungo questa osservazione, la quale potrebbe essere, la risposta al mio dubbio.

In pratica dire che $segn(sigma)=segn(betagamma)$ comporta che entrambi le permutazioni $sigma$ e $betagamma$, abbiano lo stesso numero di inversioni, ragion per cui si ha che il numero di scambi per poter passare da $1 in S_n$ a $ beta in S_n$ è uguale al numero di scambi per passare da $sigma$ a $gamma$, quindi si ha la relazione detta.

Ovviamente chiedo conferma

[j18eos]

Non vorrei aver preso un abbaglio, ma mi trovo con te.

Scappo...