Chiarimenti su un esercizio.
Ciao a tutti. Innanzitutto vorrei sapere, quando si parla di spazio vettoriale dei polinomi, perchè si specifica che per essere uno spazio vettoriale si deve considerare quello dei polinomi di grado $<=n$ e non $=n$? Poi, quando si parla di dimensioni dei parametri liberi di un sottospazio ci si riferisce al numero di elementi appartenenti a un campo, per esempio abbiamo che
quello dei polinomi di grado n è $n+1$ oppure quello di una matrice quadrata è $n^2$, quello di una matrice diagonale è $n$ ma c'è qualcosa che non mi quadra riguardo le matrici triangolari superiori/inferiori e quelle simmetriche e antisimmetriche.
In un quaderno di un mio collega c'è scritto che la imensione di quelle triangolari è $(n(n-1))/2$ ma non è vero perchè se si fa un esempio con i calcoli non è per nnt vero invece è $(n(n+1))/2$. Poi c'è scritto pure che in una matrice simmetrica il numero dei parametri liberi è $(n(n+1))/2$ e quello di una antisimmetrica $(n(n-1))/2$ ma non capisco perchè dovrebbe essere così, cioè il numero di parametri di una matrice di cui facciamo la trasposta e che è simm. o antisimm. perchè dovrebbe cmbiare? non è sempre uguale a quello della matrice di partenza? e cioè $n*n$?
quello dei polinomi di grado n è $n+1$ oppure quello di una matrice quadrata è $n^2$, quello di una matrice diagonale è $n$ ma c'è qualcosa che non mi quadra riguardo le matrici triangolari superiori/inferiori e quelle simmetriche e antisimmetriche.
In un quaderno di un mio collega c'è scritto che la imensione di quelle triangolari è $(n(n-1))/2$ ma non è vero perchè se si fa un esempio con i calcoli non è per nnt vero invece è $(n(n+1))/2$. Poi c'è scritto pure che in una matrice simmetrica il numero dei parametri liberi è $(n(n+1))/2$ e quello di una antisimmetrica $(n(n-1))/2$ ma non capisco perchè dovrebbe essere così, cioè il numero di parametri di una matrice di cui facciamo la trasposta e che è simm. o antisimm. perchè dovrebbe cmbiare? non è sempre uguale a quello della matrice di partenza? e cioè $n*n$?
Risposte
Polinomi : se li consideri di grado $=n $ e non $<=n $ non è sempre vero che sommando due polinomi di gardo $=n $ ottieni ancora un polinomio di grado $=n $.
Esempio : $p_1(x) = 2-3x^2 ; p_2(x) = 5-3x^2 ; p_1(x)+p_2(x)= 7$ che è un polinomio di grado 0.
Imponendo invece la condizione grado$<= n $ ottieni uno spazio vettoriale sicuramente .
Matrice simmetrica $(n,n ) $ conta quanti sono gli elementi "distinti " : In tutto sono $n^2$ , per la simmetria dividi a metà e ottieni $n^2/2$ poi devi aggiungere metà degli elementi della diagonale e quindi devi aggiungere la quantità $n/2 $ ottenenedo un totale di $n(n+1)/2 $ elementi - ricorda che in una matrice simmetrica $ a_(ij) = a_(ji )$ e quindi se conosci $a_(ij) $ conosci anche $a_(ji) $.
Esempio : $p_1(x) = 2-3x^2 ; p_2(x) = 5-3x^2 ; p_1(x)+p_2(x)= 7$ che è un polinomio di grado 0.
Imponendo invece la condizione grado$<= n $ ottieni uno spazio vettoriale sicuramente .
Matrice simmetrica $(n,n ) $ conta quanti sono gli elementi "distinti " : In tutto sono $n^2$ , per la simmetria dividi a metà e ottieni $n^2/2$ poi devi aggiungere metà degli elementi della diagonale e quindi devi aggiungere la quantità $n/2 $ ottenenedo un totale di $n(n+1)/2 $ elementi - ricorda che in una matrice simmetrica $ a_(ij) = a_(ji )$ e quindi se conosci $a_(ij) $ conosci anche $a_(ji) $.
Ok grazie mille.
[mod="Steven"]Chiederei ad AlexlovesUSA, per il futuro, di scegliere un titolo più specifico e indicante l'argomento in questione.
Titoli indicativi facilitano notevolmente la scelta di quali topic aprire, in base ai proprio gusti e competenze, agli utenti.
Dopo più di 200 messaggi sarebbe bene ricordare queste elementari norme.
Chiudo, anche perché la discussione mi pare esaurita.
[/mod]
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Chiudo, anche perché la discussione mi pare esaurita.
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