Chiarimenti su somma e intersezioni di sottospazi vettoriali

[gattovittorio98]

Salve,

sto studiando per l'esame di geometria e algebra lineare, e attualmente ho qualche difficoltà con la somma e l'intersezione di sottospazi vettoriali.
Qui di seguito vi propongo un esercizio che ho svolto, potrei sapere se è stato svolto in maniera corretta?

Nello spazio vettoriale $ R^4 $ si considerino i seguenti sottospazi:

$A= {(x1,x2,x3,x4):x1-x2-x3=0; x1-x4=0} $
$ B= <(1,2,0,1),(1,1,0,1)> $

La prima cosa che ho fatto è stata determinare i generatori del sottospazio A, ottenendo :

$ A = <(1,1,0,1),(1,0,1,1)> $

Conoscendo la dimensione di $ A+B $ e la dimensione di $A$ e $B$
A questo punto, ho determinato la dimensione dei due sottospazi vettoriali, ed entrambi hanno dimensione 2.

$ Dim.A=2 $
$ Dim.B=2 $

Dopo aver determinato le dimensioni, procedo a calcolare la dimensione e la base della somma $ A+B $ mettendo in matrice i 4 vettori :

$ [ ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ,1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ) ] $

che, ridotta a scalini restituisce rango= 3.

dunque : $ Dim.(A+B)= 3 $
$ A+B= <(1,2,0,1),(1,1,0,1),(1,0,1,1)> $

Conoscendo le dimensioni di A+B, A e B posso determinare la dimensione di $ AnnB $ mediante la formula di Grassmann

$ Dim(A+B)= Dim.A + Dim.B - Dim(AnnB) $

Che in questo caso sarà :

$ 3=2+2-Dim(AnnB) $

Intuendo dunque che la dimensione di $AnnB$ debba essere 1, procedo a fare l'intersezione uguagliando i due sottospazi

$a(1,1,0,1)+b(1,0,1,1)=c(1,2,0,1)+d(1,1,0,1)$

dai quali ottengo il sistema :

a+b=c+d
a =2c+d
b =0
a+b=c+d

la prima e l'ultima sono uguali, quindi risolvo le prime tre ottenendo :

c=0
a=d
b=0

...e proprio in quest'ultima parte mi blocco ogni volta, non sapendo a cosa riferirmi. Confrontando i risultati del sistema con le basi iniziali mi viene un vettore $ AnnB = <(1,1,0,1)> $

Confermate se giusto o meno? Grazie in anticipo!

[gattovittorio98]

Nessuno può aiutarmi?

[Jokah]

Succede semplicemente che devi mettere a 0 sia b che c. Nella combinazione lineare ti rimane:

$a(1,1,0,1) = a(1,1,0,1)$ dato che $d=a$

Assegni un valore qualsiasi ad a, per esempio 1, e trovi una base per l'intersezione.

[gattovittorio98]

Quindi assegnando ad a 1 per esempio, la base dell'intersezione verrebbe come scritta, (1,1,0,1) ?

[Jokah]

Preciso; puoi verificare facilmente che appartiene ad entrambi.