Chiarimenti su Endomorfismi, Immagini e un piccolo esercizio
Ragazzi ho un esercizio per cui sto uscendo pazzo, ho studiato gli endomorfismi ma questo esercizio proprio non lo capisco, sin dalla richiesta del testo.
Chiedo aiuto a voi, ve lo propongo:
Sia f:R²->R² l'endomorfismo di R² tale che \(\displaystyle f(\binom{2}{5})=\binom{1}{1} \) e \(\displaystyle f(\binom{1}{2})=\binom{2}{2} \). Determinare il vettore \(\displaystyle f(\binom{4}{11})\in R^{2} \) immagine di \(\displaystyle \binom{4}{11}\in R^{2} \)
Malgrado non abbia capito moltissimo la teoria (a cui chiedo a voi di indirizzarmi o suggerirmi qualcosa) mi è stato detto che una soluzione è scrivere \(\displaystyle \binom{4}{11} \) come combinazione lineare di \(\displaystyle \binom{2}{5} \) e \(\displaystyle \binom{1}{2} \) dunque \(\displaystyle a \binom{2}{5} + b \binom{1}{2} = \binom{4}{11} \) per cui ho fatto:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4 \\
5a&+&2b&=&11
\end{matrix}\right.\)
che portato in forma matriciale è
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
5 & 2 & 11
\end{pmatrix}\)
con gauss mi trovo b facendo \(\displaystyle 2R_{2}-5R_{1}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}\)
quindi
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4\\
&&-b&=&2
\end{matrix}\right.\)\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&=&6&;&a=3\\
b&=&-2&;&b=-2
\end{matrix}\right.\)
come continuo a sottolineare non ho ben chiaro quale sia e come usare la soluzione oltre al fatto che non capisco come mai avendo \(\displaystyle \mathit{f}(\binom{2}{5})=\binom{1}{1}\) e \(\displaystyle \mathit{f}(\binom{1}{2})=\binom{2}{2}\) come soluzione basta mettere \(\displaystyle \binom{2}{5}\) e \(\displaystyle \binom{1}{2}\) a sistema con \(\displaystyle \binom{4}{11}\) in un certo senso trascurando \(\displaystyle \binom{1}{1}\) e \(\displaystyle \binom{2}{2}\).
Fiducioso vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Chiedo aiuto a voi, ve lo propongo:
Sia f:R²->R² l'endomorfismo di R² tale che \(\displaystyle f(\binom{2}{5})=\binom{1}{1} \) e \(\displaystyle f(\binom{1}{2})=\binom{2}{2} \). Determinare il vettore \(\displaystyle f(\binom{4}{11})\in R^{2} \) immagine di \(\displaystyle \binom{4}{11}\in R^{2} \)
Malgrado non abbia capito moltissimo la teoria (a cui chiedo a voi di indirizzarmi o suggerirmi qualcosa) mi è stato detto che una soluzione è scrivere \(\displaystyle \binom{4}{11} \) come combinazione lineare di \(\displaystyle \binom{2}{5} \) e \(\displaystyle \binom{1}{2} \) dunque \(\displaystyle a \binom{2}{5} + b \binom{1}{2} = \binom{4}{11} \) per cui ho fatto:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4 \\
5a&+&2b&=&11
\end{matrix}\right.\)
che portato in forma matriciale è
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
5 & 2 & 11
\end{pmatrix}\)
con gauss mi trovo b facendo \(\displaystyle 2R_{2}-5R_{1}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4\\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}\)
quindi
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&+&b&=&4\\
&&-b&=&2
\end{matrix}\right.\)\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
2a&=&6&;&a=3\\
b&=&-2&;&b=-2
\end{matrix}\right.\)
come continuo a sottolineare non ho ben chiaro quale sia e come usare la soluzione oltre al fatto che non capisco come mai avendo \(\displaystyle \mathit{f}(\binom{2}{5})=\binom{1}{1}\) e \(\displaystyle \mathit{f}(\binom{1}{2})=\binom{2}{2}\) come soluzione basta mettere \(\displaystyle \binom{2}{5}\) e \(\displaystyle \binom{1}{2}\) a sistema con \(\displaystyle \binom{4}{11}\) in un certo senso trascurando \(\displaystyle \binom{1}{1}\) e \(\displaystyle \binom{2}{2}\).
Fiducioso vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Risposte
Devi completare il calcolo per accorgerti che in realtà non si trascura nulla. Dopo aver trovato che :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \)
devi passare alle immagini tramite l'applicazione f :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=f\left (3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\end
{pmatrix}\right) \)
Da qui, utilizzando la linearità di f, hai :
(1) \(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3f \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2f\begin{pmatrix}1\\2\end
{pmatrix}\)
E quindi, conoscendo che:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \)
e che :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\2\end{pmatrix} \)
sostituendo nella (1) , ottieni :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\2\end
{pmatrix}\)
e dunque :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 4\\11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\-1\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \)
devi passare alle immagini tramite l'applicazione f :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=f\left (3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\end
{pmatrix}\right) \)
Da qui, utilizzando la linearità di f, hai :
(1) \(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3f \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-2f\begin{pmatrix}1\\2\end
{pmatrix}\)
E quindi, conoscendo che:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \)
e che :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\2\end{pmatrix} \)
sostituendo nella (1) , ottieni :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}=3 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\2\end
{pmatrix}\)
e dunque :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix} 4\\11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\-1\end{pmatrix} \)
grazie mille, tutto chiaro
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