Chiarimenti su basi e applicazioni lineari
Innanzitutto ciao a tutti, volevo ringraziarvi perchè avete dato un apporto fondamentale alla mia prepararazione per questa ostica materia, anche se è la prima volta che scrivo ho spesso "sfruttato" i quesiti altrui 
Ok, dopo la sviolinata inziale procediamo al fulcro della questione:
Mi sto preprando per l'esame di lunedì, e questo esercizio racchiude un pò dei miei dubbi, andiamo per passi:
(a) solitamente mi trovo ad operare su una matrice associata ad un'applicazione lineare, quindi mi ricavo il rango e da li mi ricavo le dimensioni dello spazio del domio e del codominio e riesco a ricavarmi suriettività e iniettività. In questo caso non ho una matrice associata però. Esiste un modo per ricavarmela e poter procedere come al solito?
In ogni caso già dal fatto che il dominio sia $RR^5$ ed il codominio $RR^4$ mi fa pensare che non sia iniettiva.
(c) qui brancolo nel buio, solitamente mi crea proprio difficoltà quando mi si chiede di trovare una base, so che devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti ma non so da dove iniziare, esiste un modo che si può utilizzare sempre e comunque per trovare una base?
(d) questo si risolve trovando la base di $E$ e la base di $Ker(T)$ facendo poi l'intersezione? Se si, in ogni caso il problema rimane trovarle queste basi.
(secondo punto a) in genere questo tipo di esercizio non mi crea problemi, ma quando trovo un sottospazio come quello di $E$ non so come muovermi, il problema è sempre quello di trovare questa benedetta base.
Questo è quanto, spero di non avervi tediato troppo. Grazie in anticipo.
Ok, dopo la sviolinata inziale procediamo al fulcro della questione:
Mi sto preprando per l'esame di lunedì, e questo esercizio racchiude un pò dei miei dubbi, andiamo per passi:
(a) solitamente mi trovo ad operare su una matrice associata ad un'applicazione lineare, quindi mi ricavo il rango e da li mi ricavo le dimensioni dello spazio del domio e del codominio e riesco a ricavarmi suriettività e iniettività. In questo caso non ho una matrice associata però. Esiste un modo per ricavarmela e poter procedere come al solito?
In ogni caso già dal fatto che il dominio sia $RR^5$ ed il codominio $RR^4$ mi fa pensare che non sia iniettiva.
(c) qui brancolo nel buio, solitamente mi crea proprio difficoltà quando mi si chiede di trovare una base, so che devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti ma non so da dove iniziare, esiste un modo che si può utilizzare sempre e comunque per trovare una base?
(d) questo si risolve trovando la base di $E$ e la base di $Ker(T)$ facendo poi l'intersezione? Se si, in ogni caso il problema rimane trovarle queste basi.
(secondo punto a) in genere questo tipo di esercizio non mi crea problemi, ma quando trovo un sottospazio come quello di $E$ non so come muovermi, il problema è sempre quello di trovare questa benedetta base.
Questo è quanto, spero di non avervi tediato troppo. Grazie in anticipo.
Risposte
a) se vuoi la matrice scrivi una matrice in cui la prima riga è data dai coefficenti della prima componente in questi caso
(1 1 1 -1 4) seconda riga seconda componente ecc.
c) i due vettori che ti hanno dato sono una base per E se T(v1) e T(v2) sono l.i.allora questi due sono una base per T(E) (che avrà dimensione minore o uguale a 2), altrimenti prendi solo uno dei 2.
d)No puoi prendere 2 basi di E la cui intersezione è il vuoto anche se EintersecatoE=E. L'esercizio ti dà una base di E (v1; v2) se dim(T(E))=2 allora EintersecatoKer(T) è solo il vettore nullo; se dim(T(E))=0 allora E C KerT(V); se dim(T(E))=1 allora T(v1)=aT(v2) se prendi il vettore v1-av2 appartiene a Ker(T).
(1 1 1 -1 4) seconda riga seconda componente ecc.
c) i due vettori che ti hanno dato sono una base per E se T(v1) e T(v2) sono l.i.allora questi due sono una base per T(E) (che avrà dimensione minore o uguale a 2), altrimenti prendi solo uno dei 2.
d)No puoi prendere 2 basi di E la cui intersezione è il vuoto anche se EintersecatoE=E. L'esercizio ti dà una base di E (v1; v2) se dim(T(E))=2 allora EintersecatoKer(T) è solo il vettore nullo; se dim(T(E))=0 allora E C KerT(V); se dim(T(E))=1 allora T(v1)=aT(v2) se prendi il vettore v1-av2 appartiene a Ker(T).
a) e c) credo di averli capiti. Purtroppo d) non mi è molto chiaro, perdonami.
in pratica devi vedere cosa fa l'applicazione T al sottospazio E. Per vederlo guardi cosa fa ad una base di E e fin qui l'hai già fatto nel punto c). se T manda v1 e v2 nel vettore nullo allora un qualsiasi elemento di E va a finire nel vettore nullo attraverso T; se T(v1) e T(v2) sono l.d. allora puoi trovare un vettore v diverso da 0 in E tale che T(v)=0 nel modo che ti ho spiegato sopra, in questo caso il sottospazio generato da v sarà contenuto nel Ker(T) e sarà proprio l'intersezione che cercavi. Infine se T(v1)e T(v2) sono l.i. allora ogni vettore non nullo di E che si può scrivere come av1+bv2 (dove almeno uno tra a e b diverso da 0) va in un vettore non nullo
T(av1 + bv2)=aT(v1)+bT(v2) quindi l'intersezione di E e Ker(T) è il solo vettore nullo.
N.B. gli elementi di Ker(T) sono v t.c. T(v)=0 quelli di Ker(T)\(\cap \)E sono v \(\in \) E t.c. T(v)=0
T(av1 + bv2)=aT(v1)+bT(v2) quindi l'intersezione di E e Ker(T) è il solo vettore nullo.
N.B. gli elementi di Ker(T) sono v t.c. T(v)=0 quelli di Ker(T)\(\cap \)E sono v \(\in \) E t.c. T(v)=0
per la a)
$((1,1,1,-1,4),( 1,-1,5,5,0),(-1,1,-5,-5,0),(3,2,6,0,10))$ (bada bene che devi fare la trasposta di questa matrice, dato che i vettori vanno in colonna)
la dimensione del dominio è 5. quella del codominio è 4
la funzione sarà al più suriettiva nel caso in cui il rango della matrice associata sia massimo. (ovvero se tutti e 4 i vettori in colonna sono L.I)
posta qualche tuo calcolo
(dalla foto non si vedono molto bene alcuni numeri, spero che siano quelli! )
$((1,1,1,-1,4),( 1,-1,5,5,0),(-1,1,-5,-5,0),(3,2,6,0,10))$ (bada bene che devi fare la trasposta di questa matrice, dato che i vettori vanno in colonna)
la dimensione del dominio è 5. quella del codominio è 4
la funzione sarà al più suriettiva nel caso in cui il rango della matrice associata sia massimo. (ovvero se tutti e 4 i vettori in colonna sono L.I)
posta qualche tuo calcolo
(dalla foto non si vedono molto bene alcuni numeri, spero che siano quelli! )
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