Chiarimenti endomorfismi-matrici associate
Buongiorno, premessa: non ho seguito il corso per vari motivi perciò non date per scontate delle cose banali, essendo autodidatta potrei averle interpretate male e/o saltate.
Partiamo dal caso generico, cioè un endomorfismo [tex]f: R^3 \rightarrow R^3[/tex] da applicare a [tex]V[/tex].
Se so in generale una base di V, mettiamo [tex]{v_1=(1,2,3),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,1)}[/tex] e le sue immagini ad esempio [tex]f(v_1)=v_2-v_3,f(v_2)=v_1+v_2,f(v_3)=v_2[/tex] posso scrivere la matrice di f rispetto a tali basi come [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}[/tex]. Il mio dubbio è come ottenere una qualsiasi delle 3 funzioni, esempio [tex]f(v_1)=v_2-v_3[/tex] come la posso scrivere utilizzando la matrice?
Seconda cosa, se volessi riscriverla con altre basi, mettiamo le canoniche mi basta esprire i vettori della nuova base come combinazione linere di quelli noti: [tex]e_1=av_1+bv_2+cv_3[/tex]. Una volta noti [tex]a,b,c[/tex] di tutti gli [tex]e_i[/tex] mi basta metterli in colonna come prima e ho finito?
Partiamo dal caso generico, cioè un endomorfismo [tex]f: R^3 \rightarrow R^3[/tex] da applicare a [tex]V[/tex].
Se so in generale una base di V, mettiamo [tex]{v_1=(1,2,3),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,1)}[/tex] e le sue immagini ad esempio [tex]f(v_1)=v_2-v_3,f(v_2)=v_1+v_2,f(v_3)=v_2[/tex] posso scrivere la matrice di f rispetto a tali basi come [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}[/tex]. Il mio dubbio è come ottenere una qualsiasi delle 3 funzioni, esempio [tex]f(v_1)=v_2-v_3[/tex] come la posso scrivere utilizzando la matrice?
Seconda cosa, se volessi riscriverla con altre basi, mettiamo le canoniche mi basta esprire i vettori della nuova base come combinazione linere di quelli noti: [tex]e_1=av_1+bv_2+cv_3[/tex]. Una volta noti [tex]a,b,c[/tex] di tutti gli [tex]e_i[/tex] mi basta metterli in colonna come prima e ho finito?
Risposte
"korrak93":qualche testo o slides starai seguendo per studiare algebra lineare?!
Buongiorno, premessa: non ho seguito il corso per vari motivi perciò non date per scontate delle cose banali, essendo autodidatta potrei averle interpretate male e/o saltate.
"korrak93":la matrice associata ad un endomorfismo \( f \in \operatorname{End}_\mathbf{K}(V)\), con \( \mathscr{B}=\{v_1,v_2,...,v_m\}\) base per \(V\) su \( \mathbf{K}\), è per definizione la matrice associata al sistema di vettori \(\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_m)\}\) rispetto alla base \( \mathscr{B}\); ergo puoi usare qualsiasi base (canonica o meno)
Seconda cosa, se volessi riscriverla con altre basi, mettiamo le canoniche mi basta esprire i vettori della nuova base come combinazione linere di quelli noti: [tex]e_1=av_1+bv_2+cv_3[/tex]. Una volta noti [tex]a,b,c[/tex] di tutti gli [tex]e_i[/tex] mi basta metterli in colonna come prima e ho finito?
.. "korrak93":la \(1^a\) colonna della tua matrice (stando a quanto hai scritto), ovvero \((0,1,-1)\), deve essere, per definizione di matrice associata ad un endomorfismo, le coordinate di \( f(v_1)\) rispetto alla base \( \{v_1,v_2,v_3\}\)...
Il mio dubbio è come ottenere una qualsiasi delle 3 funzioni, esempio [tex]f(v_1)=v_2-v_3[/tex] come la posso scrivere utilizzando la matrice?
(ovviamente il discorso vale anche per \(f(v_2)\) e \(f(v_3)\) rispettivamente con la colonna \( 2^a\) e \(3^a\) della matrice)
Risulta che
\(\displaystyle f(v_1) = Av_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0 \cdot 0 \\ 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1 \cdot 0 \\ -1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0 \cdot 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = v_2 - v_3\).
Nota che ho scritto \(\displaystyle v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \) perché è la sua rappresentazione nella base \(\displaystyle \{v_1,v_2,v_3\} \).
Il cambio di base si fa attraverso la matrice \(\displaystyle T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix} \) e alla sua inversa. In particolare la matrice relativa alla base canonica è \(\displaystyle TAT^{-1} \).
\(\displaystyle f(v_1) = Av_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0 \cdot 0 \\ 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1 \cdot 0 \\ -1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0 \cdot 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = v_2 - v_3\).
Nota che ho scritto \(\displaystyle v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \) perché è la sua rappresentazione nella base \(\displaystyle \{v_1,v_2,v_3\} \).
Il cambio di base si fa attraverso la matrice \(\displaystyle T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix} \) e alla sua inversa. In particolare la matrice relativa alla base canonica è \(\displaystyle TAT^{-1} \).
"garnak.olegovitc":
qualche testo o slides starai seguendo per studiare algebra lineare?!
Per quanto riguarda il libro che sto seguendo è "Algebra lineare e geometria" di Francesco Bottacin, professore del corso pararrelo.
@vict85 Si conosco quel metodo, mi chiedevo se fosse equivalente a quello che avevo proposto, in alcuni casi fare l'inversa non è il massimo!
Stavo provando ora un esercizio, mi viene dato endo da R^3 a R^3, [tex]v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,2), v_3=(0,1,1), f(v_1)=v_2, f(v_2)=v_3[/tex], unico autovalore "1" con molteplicità aritmetica 3, trovare la matrice rispetto ai vettori dati.
La mia idea era di scrivere [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b \\ 0 &1 &c\end{bmatrix}[/tex] ora applicando il solito calcolo degli autovalori ottengo [tex]-x^3+cx^2+bx+a=0[/tex], come procedo ora?
Non capisco quello che stai cercando di fare. Ma ti informo che trovare le coordinate della base canonica nella base qualsiasi è equivalente a trovare l'inversa di \(T\). Insomma è esattamente il principio su cui si basa quel metodo.
Ti faccio l'esempio pratico, prendendo i valori del mio primo post:
[tex]e_1= av_1+bv_2+cv_3[/tex] si trova [tex]a=-3/2, b=2, c=1/2[/tex], la mia domanda è se posso scrivere la prima colonna della matrice di [tex]f[/tex], rispetto alle basi canoniche, come [tex](af(v_1),bf(v_2),cf(v_3))^T[/tex]
Per quanto riguarda il mio penultimo post mi sembra abbastanza chiaro quello che intendo
[tex]e_1= av_1+bv_2+cv_3[/tex] si trova [tex]a=-3/2, b=2, c=1/2[/tex], la mia domanda è se posso scrivere la prima colonna della matrice di [tex]f[/tex], rispetto alle basi canoniche, come [tex](af(v_1),bf(v_2),cf(v_3))^T[/tex]
Per quanto riguarda il mio penultimo post mi sembra abbastanza chiaro quello che intendo
Ti invito a farlo e a calcolarti anche l'inversa. Dopo di che confronta le matrici.
Hai ragione viene completamente diverso. Mi sono accorto che ho sbagliato a scrivere la formula che intendevo, questa è quella che avevo in mente: [tex](af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3))[/tex]!
Spiego bene l'idea, riscrivo i dati:
[tex]f: R^3 \rightarrow R^3, {v_1=(1,2,3),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,1)}[/tex] come base e le loro immagini [tex]f(v_1)=v_2-v_3,f(v_2)=v_1+v_2,f(v_3)=v_2[/tex].
1) verifico che sono indipendenti
2) scrivo la matrice rispetto a tale base come [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}[/tex]
3) come verificato da te [tex]Av_1=v_2-v_3[/tex] quindi è corretto
4a) trovo l'inversa di [tex]P= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 &2 &1\end{bmatrix}[/tex] è [tex]P^{-1}= \begin{bmatrix} -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1/2 &1/2 &-1/2\end{bmatrix}[/tex]
5a) la matrice dell'endomorfismo rispetto la base canonica è [tex]B=PAP^{-1}=\begin{bmatrix} 9/2 & -3/2 & -1/2 \\ 8 & -3 & -1 \\ 19/2 &-7/2 &-1/2\end{bmatrix}[/tex]
6a) se faccio [tex]Bv_1[/tex] ottengo [tex](0,-1,1)^T[/tex] che corrisponde a [tex]v_2-v_3=(0,-1,1)^T[/tex]
4b) scrivo [tex]e_i = av_1+bv_2+cv_3[/tex]
5b) essendo lineare [tex]f(e_1)=f(av_1+bv_2+cv_3)=af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3)=bv_1+(a+b+c)v_2-cv_3=(9/2,8,19/2)^T[/tex]
6b) iterando il procedimento per tutti gli [tex]e_i[/tex] trovo tutte le colonne di [tex]B[/tex]
Pistolare con tutti sti casi mi ha schiarito molto le idee, ora ho chiaro in testa che se la matrice si riferisce ad una certa base, ciò che ottengo moltiplicandola per un vettore, sono i coefficenti da applicare a quegli stessi vettori che compongono la base.
Chiuso questo capitolo, qualcuno mi da una dritta sull'esercizio che avevo messo prima?
Spiego bene l'idea, riscrivo i dati:
[tex]f: R^3 \rightarrow R^3, {v_1=(1,2,3),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,1)}[/tex] come base e le loro immagini [tex]f(v_1)=v_2-v_3,f(v_2)=v_1+v_2,f(v_3)=v_2[/tex].
1) verifico che sono indipendenti
2) scrivo la matrice rispetto a tale base come [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 &0 &0\end{bmatrix}[/tex]
3) come verificato da te [tex]Av_1=v_2-v_3[/tex] quindi è corretto
4a) trovo l'inversa di [tex]P= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 &2 &1\end{bmatrix}[/tex] è [tex]P^{-1}= \begin{bmatrix} -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1/2 &1/2 &-1/2\end{bmatrix}[/tex]
5a) la matrice dell'endomorfismo rispetto la base canonica è [tex]B=PAP^{-1}=\begin{bmatrix} 9/2 & -3/2 & -1/2 \\ 8 & -3 & -1 \\ 19/2 &-7/2 &-1/2\end{bmatrix}[/tex]
6a) se faccio [tex]Bv_1[/tex] ottengo [tex](0,-1,1)^T[/tex] che corrisponde a [tex]v_2-v_3=(0,-1,1)^T[/tex]
4b) scrivo [tex]e_i = av_1+bv_2+cv_3[/tex]
5b) essendo lineare [tex]f(e_1)=f(av_1+bv_2+cv_3)=af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3)=bv_1+(a+b+c)v_2-cv_3=(9/2,8,19/2)^T[/tex]
6b) iterando il procedimento per tutti gli [tex]e_i[/tex] trovo tutte le colonne di [tex]B[/tex]
Pistolare con tutti sti casi mi ha schiarito molto le idee, ora ho chiaro in testa che se la matrice si riferisce ad una certa base, ciò che ottengo moltiplicandola per un vettore, sono i coefficenti da applicare a quegli stessi vettori che compongono la base.
Chiuso questo capitolo, qualcuno mi da una dritta sull'esercizio che avevo messo prima?
Siccome \(\displaystyle \{v_1, v_2, v_3\} \) è un base allora \(\displaystyle e_i = \alpha_i v_1 + \beta_i v_2 + \gamma_i v_3 \). Questi valori sono inoltre unici. È evidente che tu posssa trovarli risolvendo un sistema ma, in fin dei conti, il numero di calcoli risulta alto. Puoi anche usare la decomposizione LU. In alcuni casi è comunque possibile trovarli senza risolvere il sistema.
Per esempio \(\displaystyle v_1 - v_3 = 2e_3 \). Perciò \(\displaystyle e_3 = \frac12 v_1 - \frac12 v_3 \). Gli altri sono più complessi comunque con un po' di ragionamenti ho visto che \(\displaystyle v_1 + v_3 = (2,4,4) = 2v_2 + 2e_2 \). Perciò si ha che \(\displaystyle e_2 = \frac12 v_1 - v_2 + \frac12 v_3 \).
Il primo è più difficile ma guardando l'inversa che hai calcolato verrà fuori \(\displaystyle e_1 = -\frac32 v_1 + 2v_2 +\frac12 v_3 \).
Per ragioni che spero ti appariranno evidenti risulta che \(\displaystyle P^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 &\alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 &\beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 &\gamma_3 \end{pmatrix} \).
Per esempio \(\displaystyle v_1 - v_3 = 2e_3 \). Perciò \(\displaystyle e_3 = \frac12 v_1 - \frac12 v_3 \). Gli altri sono più complessi comunque con un po' di ragionamenti ho visto che \(\displaystyle v_1 + v_3 = (2,4,4) = 2v_2 + 2e_2 \). Perciò si ha che \(\displaystyle e_2 = \frac12 v_1 - v_2 + \frac12 v_3 \).
Il primo è più difficile ma guardando l'inversa che hai calcolato verrà fuori \(\displaystyle e_1 = -\frac32 v_1 + 2v_2 +\frac12 v_3 \).
Per ragioni che spero ti appariranno evidenti risulta che \(\displaystyle P^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 &\alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 &\beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 &\gamma_3 \end{pmatrix} \).
"korrak93":
endomorfismo da R^3 a R^3, [tex]v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,2), v_3=(0,1,1), f(v_1)=v_2, f(v_2)=v_3[/tex], unico autovalore "1" con molteplicità aritmetica 3, trovare la matrice rispetto ai vettori dati.
La mia idea era di scrivere [tex]A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b \\ 0 &1 &c\end{bmatrix}[/tex] ora applicando il solito calcolo degli autovalori ottengo [tex]-x^3+cx^2+bx+a=0[/tex], come procedo ora? Assegno valori arbitrari ad [tex]a,b,c[/tex] con il solo vincolo che [tex]c+b+a=1[/tex]
La condizione di avere tre autovalori uguali a 1 è uguale ad avere \(\displaystyle -x^3+cx^2+bx+a = (1-x)(1-x)(1-x) \). Da dove ricavi la condizione che usi tu? Premesso che in questo caso risulta vera, ma mi sfugge che proprietà hai usato.
Usando il prodotto notevole o facendo il prodotto direttamente ricavo:
\(\displaystyle (1-x)^3 = 1 -3x + 3x^2 - x^3 \)
Perciò, dovrebbe risultare che \(\displaystyle a = 1 \), \(\displaystyle b=-3 \), \(\displaystyle c=3 \).
Nel caso di \(\displaystyle c=3 \) si poteva anche sfruttare il fatto che la traccia delle matrici è costante per similitudini e quindi \(\displaystyle 0+0+c = 1+1+1 = 3 \)
be banalmente se l'unica soluzione valida è [tex]x=1[/tex] sostituendola nell'equazione precendete trovi [tex]a+b+c=1[/tex]. Ok quindi era quella banalità li, bastava sviluppare la potenza 
, perso tempo per una sciocchezza..
L'ultima parte del tuo messaggio ho capito cosa hai fatto ma non come lo si motiva. Ok per la traccia, ma come matrice simile hai usato quella composta dai 3 vettori mi pare, no? Questo non mi è chiaro..
In teoria dovrei disporre di una matrice corrispondente ad una base diversa dello stesso endomorfismo, cosa mi autorizza ad utilizzare quindi [tex]v_1, v_2, v_3[/tex]?
, perso tempo per una sciocchezza..L'ultima parte del tuo messaggio ho capito cosa hai fatto ma non come lo si motiva. Ok per la traccia, ma come matrice simile hai usato quella composta dai 3 vettori mi pare, no? Questo non mi è chiaro..
In teoria dovrei disporre di una matrice corrispondente ad una base diversa dello stesso endomorfismo, cosa mi autorizza ad utilizzare quindi [tex]v_1, v_2, v_3[/tex]?
Ho dato per scontato, un po' a sproposito, che la matrice fosse diagonalizzabile e ho calcolato la traccia sulla matrice diagonale. È un errore relativamente lieve perché la matrice ha tutti gli autovalori nel campo e quindi possiede una forma canonica di Jordan, ma non penso che tu sappia cos'è. In ogni caso la traccia calcolata per la forma canonica di Jordan è la somma degli autovalori. Puoi tranquillamente ignorare l'affermazione comunque dato che l'esercizio si risolveva per sostituzione.
Un metodo alternativo è quello di usare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle p(x) = x^n - s_1 x^{n-1} + \dotsb + (-1)^n s_n \) e siano \(\displaystyle \alpha_1,\dotsc, \alpha_n \) le radici di \(\displaystyle p \), allora
\(\displaystyle s_1 = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_n \)
\(\displaystyle s_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_2 + \dotsb + \alpha_{n-1}\alpha_n \)
\(\displaystyle \dotsb \)
\(\displaystyle s_n = \alpha_1\alpha_2\dotsm \alpha_n \)
Un metodo alternativo è quello di usare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle p(x) = x^n - s_1 x^{n-1} + \dotsb + (-1)^n s_n \) e siano \(\displaystyle \alpha_1,\dotsc, \alpha_n \) le radici di \(\displaystyle p \), allora
\(\displaystyle s_1 = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_n \)
\(\displaystyle s_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_2 + \dotsb + \alpha_{n-1}\alpha_n \)
\(\displaystyle \dotsb \)
\(\displaystyle s_n = \alpha_1\alpha_2\dotsm \alpha_n \)
Su Jordan ho letto qualcosa ma non è in programma! Grazie delle dritte
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