Che significa "linearizzato"?

[turtle87crociato]

Leggo testualmente dal "Mencuccini-Silvestrini", per quanto riguarda il discorso sui differenziali:


"$f(x) - f(x_0) ~= f' (x_0) (x - x_0)$,

onde $\Delta f$ è linearizzato da $f' (x_0)(x - x_0)$,

ovvero $f'(x) ~= f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ "

Che significa "linearizzato"? Perchè si usa questo termine?

[Yak52]

Si dice linearizzato in quanto l'uguaglianza e' solo al primo ordine dello sviluppo in serie ( infatti c'e' il simbolo di quasi uguale). Gli altri ordini sono stati trascurati essendo che sono infinitesimi di ordine superiore. Infatti l'ordine successivo conterrebbe un termine del tipo (x-xo)^2 che e' trascurabile essendo che si assume che (x-x0) sia molto piccolo.
In determinati contesti comunque e' necessario considerare acnhe gli sviluppi successivi, che prendono il nome di secondo ordine, terzo rodine e cosi' via...

[ViciousGoblin]

A integrazione della spiegazione precedente, direi che l'espressione "linearizzato" sottintende che l'incremento
$f(x)-f(x_0)$ e' "approssimato" (quando non e' brutalmente identificato) dalla funzione $f'(x_0)(x-x_0)$ che e' LINEARE in $(x-x_0)$ - dal punto di vista
geometrico si approssima la funzione con la sua retta tangente

[dissonance]

Io la vedo un po' diversamente da Yak52 (che comunque dice una cosa corretta, naturalmente). Io penso ai termini "differenziabile" e "linearizzabile" come a due sinonimi: una funzione è differenziabile o linearizzabile quando si può approssimare localmente con una funzione lineare (veramente sarebbe una funzione affine, ad essere pignoli).

Nel caso di funzioni reali di una variabile reale, questo significa che si può approssimare localmente con un termine di primo grado, tipo $lambda(x-x_0)$. Salta fuori che questa proprietà, sempre nel caso reale di una variabile reale e non in generale, è equivalente alla derivabilità.

Spero di essere stato d'aiuto.

[turtle87crociato]

Beh, grazie a tutti, per il momento credo possa bastare.

Io non so niente di queste cose, so solo che esiste uno sviluppo in serie, come so ad esempio che esistono strumenti matematici per lo studio della fisica a mo' di gioielli su cui è scritto "guardare ma non toccare". Io mi sto arrampicando faticosamente sul mobile per arrivare a prenderli. Tuttavia non avevo pensato che localmente la funzione, a meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto a $\Delta x$, può essere approssimata, e quindi "linearizzata" o "differenzializzata".

[serpo50]

Se devi calcolare la lungheza di un arco che unisce due punti su una sfera puoi usare la geometria della sfera, e ci vorrà un certo impegno, oppure, se ti basta un valore approssimato puoi dire ammettiamo che i due punti stiano sulla retta che li unisce e fare il calcolo. La sostituzione del segmento all'arco si chiama linerizzazione. Questo processo porterà inevitabilmente ad un errore tanto più piccolo quanto più la distanza tra i due punti è piccola.

Chiaro?