Che cos'è, geometricamente, una matrice?
So che una matrice $Ain R^(1,n)=(a,b,c...k)$ può essere vista geometricamente come il vettore che parte dall'origine e arriva al punto $P(a,b,c...k)$. Nel caso a tre dimensioni, la matrice $B=(1,2,-1)$ riesco a "vederla" come tal vettore che partendo dall'origine, arriva al punto $Q(1,2,-1)$.
E una matrice $Cin R^(m,n)=[(a_(11),...,a_(1n)),(vdots,ddots,vdots),(a_(m1),...,a_(mn))]$, come posso visualizzarla?
Ad esempio, come posso "visualizzare" la matrice $D=[(1,-2),(3,5)]$?
Ringrazio in anticipo. Questa cosa mi è fondamentale per capire cosa sia un sottospazio descritto con le matrici, anzichè con i vettori...
E una matrice $Cin R^(m,n)=[(a_(11),...,a_(1n)),(vdots,ddots,vdots),(a_(m1),...,a_(mn))]$, come posso visualizzarla?
Ad esempio, come posso "visualizzare" la matrice $D=[(1,-2),(3,5)]$?
Ringrazio in anticipo. Questa cosa mi è fondamentale per capire cosa sia un sottospazio descritto con le matrici, anzichè con i vettori...
Risposte
Il bello della matematica è l'astrazione, tu puoi fare uno spazio vettoriale con le matrici solo perchè le matrici soddisfano gli stessi assiomi degli spazi vettoriali fatti con i "vettori", ma allo stesso tempo quegli assiomi sono soddisfatti anche da insiemi di funzioni, dalle soluzioni di una equazione differenziale e così via astraendo.
Il significato geometrico che cerchi non è proprio della struttura di spazio vettoriale, che è definito dai suoi assiomi, ma solo di alcuni particolari tipi di spazi vettoriali, come quelli degli elementi di $RR^n$. Ad esempio se già consideri $CC^2$ non hai più la possibilità di visualizzarlo.
Tuttavia se proprio vuoi puoi pensare che la matrice sia legata al "volume" del simplesso formato dai vettori riga e colonna, tramite una applicazione detta "determinante".
Il significato geometrico che cerchi non è proprio della struttura di spazio vettoriale, che è definito dai suoi assiomi, ma solo di alcuni particolari tipi di spazi vettoriali, come quelli degli elementi di $RR^n$. Ad esempio se già consideri $CC^2$ non hai più la possibilità di visualizzarlo.
Tuttavia se proprio vuoi puoi pensare che la matrice sia legata al "volume" del simplesso formato dai vettori riga e colonna, tramite una applicazione detta "determinante".
I tempi in cui ho studiato geometria&algebra sono ormai lontani. Ma per ciò che mi è rimasto, penserei che un matrice in se per se è una tabella di coefficienti. Sono le relazioni che intercorrono trai i coefficienti (dipendenza indipendeza lineare, determinante, etc...)che ti forniscono le informazioni su ciò che puo rappresentare. Cioè hai bisogno di altre informazioni per pensarla come "rappresentazione" di una entità geometrica.
oltre la terza dimensione non riesci a visualizzare né il vettore né la matrice. Ma se si volesse visualizzare una matrice come una serie di vettori?
E' un modo di vedere le cose che ho trovato più di una volta
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