Cerchio massimo della sfera passante per due punti
Salve, ho un problema che non che mi sembra logicamente impossibile, forse sbaglio qualcosa, ve lo scrivo:
Si considerino in $R^3$ i punti
$p=(sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2)$ $q=(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
Si spieghi perché per essi passano un parallelo $alpha$ e una sola circonferenza massima $beta$ della sfera $S_0^2$(1)
I punti $p$ e $q$ stanno sulla sfera di raggio 1 centrata nell'origine, sono a 45° con $y=0$ in $p$ e $x=0$ in $q$ sono entrambi alla stessa quota e quindi è immediato capire che passi un parallelo per essi. Invece la circonferenza massima è definita come la circonferenza data dall'intersezione di un piano secante passante per il centro. Nessun piano passante per il centro in questo caso può contenere i due punti.
Tuttavia leggo, per esempio qui http://users.libero.it/prof.lazzarini/g ... /geo07.htm ma anche in altri siti
"Proprietà 2 Sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali passa una e una sola circonferenza massima. "
e per dimostrare ciò scrive
Per la seconda osserveremo che per tre punti non allineati P, Q ed O (l'origine) passa uno e un solo piano che, contenendo O, individua sulla superficie della sfera un'unica circonferenza massima (P, Q ed O non sono allineati perché, per ipotesi, P e Q non sono antipodali). E' chiaro invece che se i punti sono antipodali per essi passano infinite circonferenze massime.
Tuttavia non riesco a trovare un piano che contenga questi due punti e il piano passante per l'origine.
Grazie per l'aiuto
Si considerino in $R^3$ i punti
$p=(sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2)$ $q=(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
Si spieghi perché per essi passano un parallelo $alpha$ e una sola circonferenza massima $beta$ della sfera $S_0^2$(1)
I punti $p$ e $q$ stanno sulla sfera di raggio 1 centrata nell'origine, sono a 45° con $y=0$ in $p$ e $x=0$ in $q$ sono entrambi alla stessa quota e quindi è immediato capire che passi un parallelo per essi. Invece la circonferenza massima è definita come la circonferenza data dall'intersezione di un piano secante passante per il centro. Nessun piano passante per il centro in questo caso può contenere i due punti.
Tuttavia leggo, per esempio qui http://users.libero.it/prof.lazzarini/g ... /geo07.htm ma anche in altri siti
"Proprietà 2 Sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali passa una e una sola circonferenza massima. "
e per dimostrare ciò scrive
Per la seconda osserveremo che per tre punti non allineati P, Q ed O (l'origine) passa uno e un solo piano che, contenendo O, individua sulla superficie della sfera un'unica circonferenza massima (P, Q ed O non sono allineati perché, per ipotesi, P e Q non sono antipodali). E' chiaro invece che se i punti sono antipodali per essi passano infinite circonferenze massime.
Tuttavia non riesco a trovare un piano che contenga questi due punti e il piano passante per l'origine.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Il piano passante per l'origine, per $p$ e per $q$ ha equazioni parametriche
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=s
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
: s,t\in \mathbb{R}
\right\}
\]
che in coordinate cartesiane è
\[
x+y-z=0.
\]
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=s
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
: s,t\in \mathbb{R}
\right\}
\]
che in coordinate cartesiane è
\[
x+y-z=0.
\]
ok, stavo dando per scontato che il cerchio dovesse essere parallelo all'equatore, ma in effetti non c'era scritto da nessuna parte che dovesse essere così (quello è il parallelo che avevo già trovato).
Però ho un problema nel trovare lequazione della circonferenza massima
Se metto a sistema la sfera e il piano
${ ( x^2+y^2+z^2=1 ),( x+y-z=0 ):}$
sostituendo la seconda nella prima ottengo
$x^2+y^2+(x+y)^2=1$ che è l'equazione di una ellisse. Cosa sto sbagliando?
Però ho un problema nel trovare lequazione della circonferenza massima
Se metto a sistema la sfera e il piano
${ ( x^2+y^2+z^2=1 ),( x+y-z=0 ):}$
sostituendo la seconda nella prima ottengo
$x^2+y^2+(x+y)^2=1$ che è l'equazione di una ellisse. Cosa sto sbagliando?
Sbagli nel fatto che non devi risolvere il sistema. Semplicemente la circonferenza in questione è data dalle equazioni
\[
\left\{
\begin{array}
xx^2+y^2+z^2=1 \\
x+y-z=0
\end{array}
\right.
.
\]
Poi, stando a quanto chiede l'esercizio, devi dimostrare che effettivamente questa circonferenza è massima e che non ce n'è un'altra massima.
\[
\left\{
\begin{array}
xx^2+y^2+z^2=1 \\
x+y-z=0
\end{array}
\right.
.
\]
Poi, stando a quanto chiede l'esercizio, devi dimostrare che effettivamente questa circonferenza è massima e che non ce n'è un'altra massima.
ah ok, così è molto più logico. sono molto arrugginito con la geometria "semplice". Se avrò altri problemi domanderò, per ora grazie, molto gentile
Ho un secondo problema: non riesco a parametrizzare la circonferenza che si ottiene facendo intersecare il piano di equazione $z = x+y$ con la sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=1$.
Ho provato a far ruotare il sistema di riferimento intorno all'asse x di un angolo di 45° che il piano sopracitato forma con in piano $xy$ del sistema di riferimento, usando l'opportuna matrice di rotazione;
dopo di che ho pensato che la circonferenza nel nuovo sistema di riferimento $x'y'z'$ avesse la parametrizzazione canonica $(cos(t),sin(t),0)$ e ho provato dunque a esprimere l'equazione della circonferenza nelle vecchie coordinate $xyz$, tuttavia non riesco a ottenerla poiché quando vado a sostituire nell'equazione della sfera la parametrizzazione non soddisfa l'equazione.
O magari esiste un altro modo più semplice per ottenere l'equazione parametrica della curva?
Grazie
Ho provato a far ruotare il sistema di riferimento intorno all'asse x di un angolo di 45° che il piano sopracitato forma con in piano $xy$ del sistema di riferimento, usando l'opportuna matrice di rotazione;
dopo di che ho pensato che la circonferenza nel nuovo sistema di riferimento $x'y'z'$ avesse la parametrizzazione canonica $(cos(t),sin(t),0)$ e ho provato dunque a esprimere l'equazione della circonferenza nelle vecchie coordinate $xyz$, tuttavia non riesco a ottenerla poiché quando vado a sostituire nell'equazione della sfera la parametrizzazione non soddisfa l'equazione.
O magari esiste un altro modo più semplice per ottenere l'equazione parametrica della curva?
Grazie
Usando le coordinate cilindriche
$$x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad z=z$$
possiamo riscrivere le due equazioni come
$$\rho^2+z^2=1,\qquad z=\rho(\cos t+\sin t)$$
Sostituendo $z$ nella prima si ha
$$\rho^2+\rho^2(\cos^2 t+\sin^2 t+2\sin t\cos t)=1\ \Rightarrow\ \rho^2(2+\sin(2t))=1\ \Rightarrow\ \rho=\frac{1}{\sqrt{2+\sin(2t)}}$$
dove scegli solo la soluzione positiva poiché $\rho\ge 0$ per definizione. Sostituendo si ha
$$x=\frac{\cos t}{\sqrt{2+\sin(2t))}},\qquad y=\frac{\sin t}{\sqrt{2+\sin(2t))}},\qquad z=\frac{\cos t+\sin t}{\sqrt{2+\sin(2t))}}$$
con $t\in[0,2\pi]$, che è la tua rappresentazione parametrica (una delle tante).
Ne puoi ottenere, ad esempio, una razionale, ponendo
$$x=\rho\frac{1-u^2}{1+u^2},\qquad y=\rho\frac{2u}{1+u^2},\qquad z=z$$
dove $t=\tan\frac{t}{2}$, con $t\in[0,2\pi]$ e rifacendo i calcoli sopra (sostituisci nelle equazioni cartesiane, ricavi $\rho$ ecc...).
$$x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad z=z$$
possiamo riscrivere le due equazioni come
$$\rho^2+z^2=1,\qquad z=\rho(\cos t+\sin t)$$
Sostituendo $z$ nella prima si ha
$$\rho^2+\rho^2(\cos^2 t+\sin^2 t+2\sin t\cos t)=1\ \Rightarrow\ \rho^2(2+\sin(2t))=1\ \Rightarrow\ \rho=\frac{1}{\sqrt{2+\sin(2t)}}$$
dove scegli solo la soluzione positiva poiché $\rho\ge 0$ per definizione. Sostituendo si ha
$$x=\frac{\cos t}{\sqrt{2+\sin(2t))}},\qquad y=\frac{\sin t}{\sqrt{2+\sin(2t))}},\qquad z=\frac{\cos t+\sin t}{\sqrt{2+\sin(2t))}}$$
con $t\in[0,2\pi]$, che è la tua rappresentazione parametrica (una delle tante).
Ne puoi ottenere, ad esempio, una razionale, ponendo
$$x=\rho\frac{1-u^2}{1+u^2},\qquad y=\rho\frac{2u}{1+u^2},\qquad z=z$$
dove $t=\tan\frac{t}{2}$, con $t\in[0,2\pi]$ e rifacendo i calcoli sopra (sostituisci nelle equazioni cartesiane, ricavi $\rho$ ecc...).
Ok ho capito, grazie mille.
Siccome la sfera era definita con raggio 1 io ho pensato che anche il cerchio massimo avesse raggio 1 e nel passaggio a coordinate cilindriche ho messo $rho = 1$ dunque non mi ero calcolato il nuovo $ρ=1/sqrt(2+sin(2t))$ e quando andavo sostituire nell'equazione della sfera non ottenevo 1.
Però non mi è chiaro perché il raggio cambia, o meglio, la circonferenza di raggio 1 proiettata sul sistema di riferimento $xyz$, poiché la circonferenza è inclinata, non avrà raggio 1, ma non è neppure una circonferenza, dovrebbe essere un'ellisse quindi il parametro $rho$ cosa indica?
Siccome la sfera era definita con raggio 1 io ho pensato che anche il cerchio massimo avesse raggio 1 e nel passaggio a coordinate cilindriche ho messo $rho = 1$ dunque non mi ero calcolato il nuovo $ρ=1/sqrt(2+sin(2t))$ e quando andavo sostituire nell'equazione della sfera non ottenevo 1.
Però non mi è chiaro perché il raggio cambia, o meglio, la circonferenza di raggio 1 proiettata sul sistema di riferimento $xyz$, poiché la circonferenza è inclinata, non avrà raggio 1, ma non è neppure una circonferenza, dovrebbe essere un'ellisse quindi il parametro $rho$ cosa indica?
Io non lo chiamerei parametro... è una funzione che varia con $t$...
Voglio dire... un punto $P\in \mathbb{R}^3$ ha coordinate cilindriche $(\rho \cos t,\rho \sin t,z)$, ma $\rho$ non centra nulla con il raggio della circonferenza.
Voglio dire... un punto $P\in \mathbb{R}^3$ ha coordinate cilindriche $(\rho \cos t,\rho \sin t,z)$, ma $\rho$ non centra nulla con il raggio della circonferenza.
Ok, ho capito...grazie!
Tra l'altro, $\rho$ sarebbe la proiezione, sul piano $xOy$ della distanza dei punti nello spazio dall'origine del sistema di assi coordinati.
Si grazie, credo che ora mi sia chiaro;
io sbagliavo proprio a mettere il raggio della circonferenza uguale a 1 mentre da quello che ho capito $rho$ varia come hai trovato e rappresenta proprio la distanza dei punti della proiezione della circonferenza sul piano $xOy$ dall'origine.
io sbagliavo proprio a mettere il raggio della circonferenza uguale a 1 mentre da quello che ho capito $rho$ varia come hai trovato e rappresenta proprio la distanza dei punti della proiezione della circonferenza sul piano $xOy$ dall'origine.
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