Cerchio di Apollonio.

[Kashaman]

Salve ragazzi, ho questo quesito :

Siano $a,K \in RR \\{0}$ e $a,K >0$. Siano dati i punti $A(-a,0)$ , $B(0,a)$.
Scrivere l'equazione del luogo dei punti del piano metrico tale che
$d(P,A)=K d(P,B)$ (1) dove $P(x,y) \in E^2$

Ho ragionato così

Denoto con $\zeta_(a,K) := { P(x,y) \in E^2 | d(P,A)=Kd(P,B)}$.
Per $K=1$ si ha un caso degenere , infatti imponendo $d(P,A)=d(P,B)$ ottengo che $x=0$ , cioè
$\zeta_(a,1) = { P(x,y) \in E^2 | x=0}= { P(0,y) | y \in RR} = asse y$, cioè per $k=1$ trovo una retta.
Ora considero $k!=1$, $k>1$
Ottengo l'equazione :
$x^2+y^2+((-2a(k^2+1))/(k^2-1))x+a^2=0$ ponendo $ \alpha = ((-2a(k^2+1)/(k^2-1))$ , verifico facilmente che l'equazione così ottenuta descrive una circonferenza di centro
$C( \alpha/2,0)$ e raggio $\rho = \sqrt(\alpha^2-a^2)$.
Ora per $k<1$ , se utilizzo l'equazione trovata ma trovo che $\rho <0$ e quindi non ho una circonferenza, o sbaglio?

grazie mille

[apatriarca]

Per prima cosa ti consiglio di osservare che esiste una specie di simmetria nel tuo problema. I punti \(P(x,y)\) per cui vale la relazione \( d(P, A) = K\,d(P,B) \) risolvono anche l'equazione \( (1/K)\,d(P, A) = d(P, B) \) per un semplice passaggio algebrico. I punti \(P\) che risolvono \( d(P, A) = K\,d(P,B) \) con \( 0 < K < 1 \) si possono quindi ottenere per riflessione dai punti \(Q\) che risolvono \( d(Q,A) = G\,d(Q,B) \) dove \(G > 1\) e \(G = 1/K\) (i punti \(A\) e \(B\) si possono infatti scambiare di ruolo effettuando una riflessione rispetto all'asse \(y\) e la riflessione preserva le distanze). Nella risoluzione del tuo problema puoi quindi limitarti a considerare \(K \geq 1\) e ottenere le altre soluzioni per riflessione.

[Kashaman]

grazie apatriarca ! quindi in ogni caso, per $k!=1$ ho una circonferenza, grazie tante!