Centro di una conica con parametro
Salve, non riesco a capire come risolvere questo quesito:
Data la conica:
$x^2-6xy+ky^2+2x+k=0$,
Trovare i valori di k per i quali il centro della conica si trova nel punto $C(2,1)$
Grazie in anticipo!
Data la conica:
$x^2-6xy+ky^2+2x+k=0$,
Trovare i valori di k per i quali il centro della conica si trova nel punto $C(2,1)$
Grazie in anticipo!
Risposte
Innanzitutto comincerei a chiedermi per quali valori di \( k \) la conica sia effettivamente una conica a centro.
Ok, quindi escludo i valori per i quali la conica risulta essere un Iperbole... ovvero tutti i k<9
Ci sono fin qui?
Ci sono fin qui?
L'iperbole è una conica a centro.
E comunque non basterebbe, dato che non hai tenuto conto dei casi degeneri.
I casi che vanno esclusi sono:
(1) Conica degenere
(2) Parabola
Per quali valori di \( k \) la conica assegnata è a centro?
E comunque non basterebbe, dato che non hai tenuto conto dei casi degeneri.
I casi che vanno esclusi sono:
(1) Conica degenere
(2) Parabola
Per quali valori di \( k \) la conica assegnata è a centro?
Parabola* intendevo, chiedo perdono...
Potrei escludere K=10 e k=0, nei quali risulta degenere, e k=9, in quanto da una Parabola.
Ma non saprei come continuare (non credo sia la via esatta)
Potrei escludere K=10 e k=0, nei quali risulta degenere, e k=9, in quanto da una Parabola.
Ma non saprei come continuare (non credo sia la via esatta)
Ottimo.
Ora che abbiamo capito quali valori non vanno bene a priori, concentriamoci sulla parte interessante dell'esercizio.
Se \( \Gamma :\ ^tXAX + 2\, (a_{13}\ a_{23})\, X + a_{33} \) è una conica a centro, il suo centro di simmetria è individuato dall'unica soluzione del sistema lineare
\[ AX = - \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \end{pmatrix} \]
Il fatto che la soluzione sia unica segue immediatamente dal fatto che la matrice associata alla forma quadratica della conica non ha l'autovalore \( 0 \).
Ora sei in grado di concludere.
Ora che abbiamo capito quali valori non vanno bene a priori, concentriamoci sulla parte interessante dell'esercizio.
Se \( \Gamma :\ ^tXAX + 2\, (a_{13}\ a_{23})\, X + a_{33} \) è una conica a centro, il suo centro di simmetria è individuato dall'unica soluzione del sistema lineare
\[ AX = - \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \end{pmatrix} \]
Il fatto che la soluzione sia unica segue immediatamente dal fatto che la matrice associata alla forma quadratica della conica non ha l'autovalore \( 0 \).
Ora sei in grado di concludere.
Mmm io teoricamente mi troverei 4 soluzioni k...
Ho eguagliato l'equazione della conica a -a13 e a -a23 (rispettivamente 0 e 1), e ho 4 soluzioni k :\
Ho eguagliato l'equazione della conica a -a13 e a -a23 (rispettivamente 0 e 1), e ho 4 soluzioni k :\
Il sistema lineare da risolvere è questo:
\[ \begin{cases} x - 3y = -1 \\ -3x + ky = 0 \end{cases} \]
Se non è quello, hai sbagliato qualcosa nell'impostazione.
\[ \begin{cases} x - 3y = -1 \\ -3x + ky = 0 \end{cases} \]
Se non è quello, hai sbagliato qualcosa nell'impostazione.
Avevo fatto un pasticcio perché stavo vedendo un'altro esercizio... ><
Comunque tutto chiaro ora, grazie mille
Comunque tutto chiaro ora, grazie mille
Prego, figurati.
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