Centro di una conica
Assegnata nel piano euclideo la conica \(\displaystyle C : tx^2 + 2xy + y^2 + 8x + 2y + 1 = 0 \) determinare i valori di \(\displaystyle t \) per i quali il centro della conica appartiene alla retta \(\displaystyle x − y = 0 \)
Io pensavo di risolverlo nel seguente modo..sapendo che il centro di una conica si trova con \(\displaystyle x_{0} =\frac{\alpha_{01}}{ \alpha_{00}} \) ; \(\displaystyle y_{0} =\frac{\alpha_{02}}{ \alpha_{00}} \) dove \(\displaystyle \alpha_{02} \) è il minore di \(\displaystyle a_{02} \) e \(\displaystyle \alpha_{01} \) è il minore di \(\displaystyle a_{01} \) nella matrice della conica. Sviluppando i determinanti dei dei due minori mi trovo che \(\displaystyle \alpha_{01} = 3 \) , \(\displaystyle \alpha_{02} = 4-t \) e \(\displaystyle \alpha_{00} = t-1\) a questo punto \(\displaystyle x_0 = \frac{3}{t-1} \) e \(\displaystyle y_0 = \frac{4-t}{t-1} \) imponendo che appartengano alla retta \(\displaystyle x − y = 0 \) ovvero che \(\displaystyle x=y \) metto \(\displaystyle \frac{3}{t-1} = \frac{4-t}{t-1} \) e risulta che \(\displaystyle t = 1 \) ma il problema è che \(\displaystyle t = 1 \) mi annulla il determinante..quindi non dovrebbe essere una soluzione..guardando i risultati dell'esercizio la soluzione è \(\displaystyle t=7 \) ma non sembra tanto giusta perchè sostituita nell'equazione \(\displaystyle \frac{3}{t-1} = \frac{4-t}{t-1} \) , \(\displaystyle x \) viene diverso da \(\displaystyle y \) a questo punto penso che ho sbagliato proprio il procedimento..ma non so in quale altro modo farlo..qualcuno mi potrebbe dare qualche indicazione? grazie
Io pensavo di risolverlo nel seguente modo..sapendo che il centro di una conica si trova con \(\displaystyle x_{0} =\frac{\alpha_{01}}{ \alpha_{00}} \) ; \(\displaystyle y_{0} =\frac{\alpha_{02}}{ \alpha_{00}} \) dove \(\displaystyle \alpha_{02} \) è il minore di \(\displaystyle a_{02} \) e \(\displaystyle \alpha_{01} \) è il minore di \(\displaystyle a_{01} \) nella matrice della conica. Sviluppando i determinanti dei dei due minori mi trovo che \(\displaystyle \alpha_{01} = 3 \) , \(\displaystyle \alpha_{02} = 4-t \) e \(\displaystyle \alpha_{00} = t-1\) a questo punto \(\displaystyle x_0 = \frac{3}{t-1} \) e \(\displaystyle y_0 = \frac{4-t}{t-1} \) imponendo che appartengano alla retta \(\displaystyle x − y = 0 \) ovvero che \(\displaystyle x=y \) metto \(\displaystyle \frac{3}{t-1} = \frac{4-t}{t-1} \) e risulta che \(\displaystyle t = 1 \) ma il problema è che \(\displaystyle t = 1 \) mi annulla il determinante..quindi non dovrebbe essere una soluzione..guardando i risultati dell'esercizio la soluzione è \(\displaystyle t=7 \) ma non sembra tanto giusta perchè sostituita nell'equazione \(\displaystyle \frac{3}{t-1} = \frac{4-t}{t-1} \) , \(\displaystyle x \) viene diverso da \(\displaystyle y \) a questo punto penso che ho sbagliato proprio il procedimento..ma non so in quale altro modo farlo..qualcuno mi potrebbe dare qualche indicazione? grazie
Risposte
\( x_0=\frac{3}{1-t}\) rivedi i tuoi calcoli.
messo così \(\displaystyle x_0 \) la relazione esce per \(\displaystyle t = -1 \) e appartiene anche alla retta.quindi dovrebbe essere questa la soluzione giusta...ma nei risultati dell'esercizio si trova \(\displaystyle t = 7 \) come soluzione..in quale modo si trova questa soluzione??
\(x=y\)
\( \frac{3}{1-t}=\frac{4-t}{t-1}\)
\(-3=4-t\)
\(t=7\)
\( \frac{3}{1-t}=\frac{4-t}{t-1}\)
\(-3=4-t\)
\(t=7\)
scusa ma non capisco cosa intendi con \alpha01 e \alpha02 potresti spiegarmelo per favore? grazie
mille
mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo