Centro di una conica
Non ho capito perchè il centro di una conica si trova intersecando le derivate parziali ... come si può dimostrare questo fatto?
[mod="gugo82"]@raffamaiden: Riduci l'avatar immediatamente (cfr. regolamento, 2.3).[/mod]
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Risposte
Hello?
Is there anybody in there?
Just nod if you can hear me.
Is there anyone at home?
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Relax, relax,
I'll need some information, first.
Just the basic facts,
can you tell me where it hurts ?
http://www.matematicamente.it/forum/centro-di-una-conica-t44559.html
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Just the basic facts,
can you tell me where it hurts ?
http://www.matematicamente.it/forum/centro-di-una-conica-t44559.html
Ma questa dimostrazione nasce dall'osservazione che le coniche in forma canonica non hanno i termini in $x$ e $y$, e quando operiamo una qualsiasi rotazione continuano a non avere i termini in $x$ e $y$, e che le coniche in forma canonica hanno il centro di simmetria situato nell'origine (stiamo parlando ovviamente di ellissi e iperboli) e qualsiasi rotazione non altera il centro di simmetria, giusto?
Altra domanda: il fatto che la derivata parziale in $x$ ($y$) coincida con i coefficienti dei termini di primo grado in $x$ ($y$) di una generica traslazione è solo una coincidenza?
Altra domanda: il fatto che la derivata parziale in $x$ ($y$) coincida con i coefficienti dei termini di primo grado in $x$ ($y$) di una generica traslazione è solo una coincidenza?
up...
La mia domanda è (dal topic linkato da Quinzio)
perchè ponendo $2ax+by+d=0$ e $bx+2cy+e=0$ si ottiene il centro di simmetria? (la dimostrazione come fatta li non mi sembra affato completa).
La mia domanda è (dal topic linkato da Quinzio)
La DIMOSTRAZIONE segue semplicemente dal fatto che la derivata parziale $f_x$ di $f(x,y)$ rispetto a $x$ è proprio $2ax+by+d$ e quella $f_y$ rispetto a $y$ è $bx+2cy+e$.
perchè ponendo $2ax+by+d=0$ e $bx+2cy+e=0$ si ottiene il centro di simmetria? (la dimostrazione come fatta li non mi sembra affato completa).
Per essere completa, è completa: resta solo da fare i conti. Se poi vuoi qualcosa che ti convinca maggiormente di questo risultato e te ne dia una visione più intuitiva, allora siamo in due. Cosa ha di speciale il punto $f_x(x, y)=0=f_y(x, y)$? Qualcosa ci deve essere: basti pensare ad una iperbole degenere, in cui è un punto doppio. In una iperbole non degenere questo punto non è doppio perché non appartiene alla conica, però comunque ha qualcosa in comune con essa... Non so. Non sono ancora riuscito a trovare una spiegazione proprio convincente.
Io non ho capito perchè il seguente sistema:
[tex]\begin{cases}
2ax+by+d=0 (1) \\ bx+2cy+e=0 (2)
\end{cases}[/tex]
Mi dovrebbe dare il centro. Nella dimostrazione messa qui sembra dare per scontato questo fatto (cioè che quel sistema ha per soluzione il centro della conica), e la dimostrazione si riduce a "le derivate parziali danno quelle equazioni, che già sappiamo dare il centro". Per cui la mia domanda è: facendo i conti ci arrivo che le derivate parziali danno le equazioni (1) e (2), ma non ho capito perchè il sistema di quelle equazioni mi da il centro.
Riporto la dimostrazione per intero, sperando che l'autore del topic non se la prenda:
[OT]
Per quanto riguarda idee intuitive, io ancora non ho l'idea intuitiva di derivata parziale. Cioè se ho una funzione, so che la funzione derivata mi dà il coefficente angolare della retta tangente la funzione in ogni punto. Ma per la derivata parziale non so cosa mi "restituisce" (premesso che le derivate parziali non le abbiamo studiate "bene", perchè sono argomento di analisi II. So solo il procedimento meccanico che permette di calcolarle). Comunque questo è un altro discorso OT, poi magari apro un altro 3d.
[/OT]
[tex]\begin{cases}
2ax+by+d=0 (1) \\ bx+2cy+e=0 (2)
\end{cases}[/tex]
Mi dovrebbe dare il centro. Nella dimostrazione messa qui sembra dare per scontato questo fatto (cioè che quel sistema ha per soluzione il centro della conica), e la dimostrazione si riduce a "le derivate parziali danno quelle equazioni, che già sappiamo dare il centro". Per cui la mia domanda è: facendo i conti ci arrivo che le derivate parziali danno le equazioni (1) e (2), ma non ho capito perchè il sistema di quelle equazioni mi da il centro.
Riporto la dimostrazione per intero, sperando che l'autore del topic non se la prenda:
"Alexp":
Allora, consideriamo la generica conica $C$ di equazione:
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
se operiamo la traslazione:
$\{(x=X+x_0), (y=Y+y_0):}$
l'equazione di $C$ diventa:
$aX^2+bXY+cY^2+(2ax_0+by_0+d)X+(bx_0+2cy_0+e)Y+(ax+bx_0y_0+cy+dx_0+ey_0+f)=0$
Si ha allora il seguente TEOREMA:
Il punto $O'=(x_0, y_0)$ è centro di simmetria di una conica $C$, se e solo se $(x_0, y_0)$ è soluzione del sistema $f_x=f_y=0$.
(dove con $f_x$ e $f_y$ ho indicato le derivate parziali).
La DIMOSTRAZIONE segue semplicemente dal fatto che la derivata parziale $f_x$ di $f(x,y)$ rispetto a $x$ è proprio $2ax+by+d$ e quella $f_y$ rispetto a $y$ è $bx+2cy+e$.
[OT]
Per quanto riguarda idee intuitive, io ancora non ho l'idea intuitiva di derivata parziale. Cioè se ho una funzione, so che la funzione derivata mi dà il coefficente angolare della retta tangente la funzione in ogni punto. Ma per la derivata parziale non so cosa mi "restituisce" (premesso che le derivate parziali non le abbiamo studiate "bene", perchè sono argomento di analisi II. So solo il procedimento meccanico che permette di calcolarle). Comunque questo è un altro discorso OT, poi magari apro un altro 3d.
[/OT]
Io mi ero posto questa tua domanda molto tempo fa.
La risposta che mi sono dato è inaspettatamente non geometrica, ma puramente analitica.
Considera una conica a centro [tex]C[/tex]. Scrivi l'equazione cartesiana. Per semplicità lasciami supporre che sia [tex]x^2 + y^2 - 1[/tex]. Riguarda [tex]C[/tex] come intersezione del grafico [tex]\{(x,y,x^2+y^2 -1), x,y \in \mathbb R\}[/tex] con l'asse [tex]z = 0[/tex] in [tex]\mathbb R^3[/tex].
Il centro della conica, in questa situazione particolare, viene a corrispondere con il punto di minimo della funzione [tex]f(x,y) = x^2 + y^2 - 1[/tex], che si trova appunto annullando il gradiente di suddetta funzione. E questo ci porta al "misterioso" sistema.
La risposta che mi sono dato è inaspettatamente non geometrica, ma puramente analitica.
Considera una conica a centro [tex]C[/tex]. Scrivi l'equazione cartesiana. Per semplicità lasciami supporre che sia [tex]x^2 + y^2 - 1[/tex]. Riguarda [tex]C[/tex] come intersezione del grafico [tex]\{(x,y,x^2+y^2 -1), x,y \in \mathbb R\}[/tex] con l'asse [tex]z = 0[/tex] in [tex]\mathbb R^3[/tex].
Il centro della conica, in questa situazione particolare, viene a corrispondere con il punto di minimo della funzione [tex]f(x,y) = x^2 + y^2 - 1[/tex], che si trova appunto annullando il gradiente di suddetta funzione. E questo ci porta al "misterioso" sistema.
Se non vedo male, una spiegazione semplice dell'origine del sistema risiede nel fatto che la conica ha da essere simmetrica rispetto al suo centro [tex]$(x_0,y_0)$[/tex].
Ciò vuol dire che sostituendo [tex]$X\to -X$[/tex] ed [tex]$Y\to -Y$[/tex] nell'equazione traslata di Alexp devi riottenere la stessa equazione; tutto questo è possibile solo se [tex]$x_0,y_0$[/tex] annullano i coefficienti dei termini in [tex]$X$[/tex] ed [tex]$Y$[/tex] della equazione traslata di Alexp, ossia se risulta:
[tex]$\begin{cases} 2ax_0+by_0+d=0 \\ cx_0+2by_0+e=0\end{cases}$[/tex].
Ciò vuol dire che sostituendo [tex]$X\to -X$[/tex] ed [tex]$Y\to -Y$[/tex] nell'equazione traslata di Alexp devi riottenere la stessa equazione; tutto questo è possibile solo se [tex]$x_0,y_0$[/tex] annullano i coefficienti dei termini in [tex]$X$[/tex] ed [tex]$Y$[/tex] della equazione traslata di Alexp, ossia se risulta:
[tex]$\begin{cases} 2ax_0+by_0+d=0 \\ cx_0+2by_0+e=0\end{cases}$[/tex].
Grazie moltissimo della spiegazione ad entrambi, ho capito 
L'interpretazione di gugo mi sembra la più intuitiva e la più semplice, perchè sfrutta la definizione di centro di simmetria.
Quella di maurer di calcolare il centro di simmetria come punto di minimo di un paraboloide ellittico opportunamente costruito è molto molto interessante e spiega perchè il centro di simmetria si ottiene annullando le derivate parziali, al di là di "quanto facciano" effettivamente queste derivate parziali dal punto di vista analitico.
Grazie
L'interpretazione di gugo mi sembra la più intuitiva e la più semplice, perchè sfrutta la definizione di centro di simmetria. Quella di maurer di calcolare il centro di simmetria come punto di minimo di un paraboloide ellittico opportunamente costruito è molto molto interessante e spiega perchè il centro di simmetria si ottiene annullando le derivate parziali, al di là di "quanto facciano" effettivamente queste derivate parziali dal punto di vista analitico.
Grazie
"raffamaiden":Oppure come punto di sella di un paraboloide iperbolico. E infatti se ci fai caso, delle coniche non degeneri sono solo le ellissi e le iperboli che si possono ottenere come linee di livello di forme quadratiche, le parabole no perché nell'equazione ci sarà sempre un termine di primo grado. Molto interessante, grazie maurer.
Quella di maurer di calcolare il centro di simmetria come punto di minimo di un paraboloide ellittico
"gugo82":
@raffamaiden: Riduci l'avatar immediatamente (cfr. regolamento, 2.3).
Scusate se rianimo questo post.
Ma avrei una domanda.
Il centro di una conica non si può semplicemente pensare come il polo della retta impropria?
Ma avrei una domanda.
Il centro di una conica non si può semplicemente pensare come il polo della retta impropria?
@AAnto: Dovresti dare un po' di dettagli e la definizione di "polo" e di "retta impropria", così su due piedi non saprei interpretare la tua domanda.
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