Centro di rotazione all'infinito? Che vuol dire?
Allora, ho una generica matrice di rotazione nel piano euclideo:
$((1,0,0),(a, cos\alpha, -sin\alpha),(b,sin\alpha, cos\alpha))$
Mi viene chiesto di scrivere le coordinate del centro di rotazione in funzione di \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle \alpha \) e discutere il caso in cui \(\displaystyle \alpha \) tende a zero.
Ometto i conti perché sono abbastanza tediosi... Ma se son giusti, mi viene che quando alpha tende a 0, il centro di rotazione va all'infinito...Possibile?
Sto cercando di figurarmi la situazione ma non ci riesco. So che se \(\displaystyle \alpha=0 \) la matrice è l'identità o al più una traslazione. Ciò significa che queste due trasformazioni possono essere viste come rotazioni con centro all'infinito?
Qualcuno saprebbe chiarirmi le idee?
$((1,0,0),(a, cos\alpha, -sin\alpha),(b,sin\alpha, cos\alpha))$
Mi viene chiesto di scrivere le coordinate del centro di rotazione in funzione di \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle \alpha \) e discutere il caso in cui \(\displaystyle \alpha \) tende a zero.
Ometto i conti perché sono abbastanza tediosi... Ma se son giusti, mi viene che quando alpha tende a 0, il centro di rotazione va all'infinito...Possibile?
Sto cercando di figurarmi la situazione ma non ci riesco. So che se \(\displaystyle \alpha=0 \) la matrice è l'identità o al più una traslazione. Ciò significa che queste due trasformazioni possono essere viste come rotazioni con centro all'infinito?
Qualcuno saprebbe chiarirmi le idee?
Risposte
Se io disegno sul piano xy due punti A e B, ad esempio $A=(0,0),\ B=(1,0)$ e tramite una rototraslazione li mando in a.e. $A'=(0,1),\ B'=(0,2)$, mi sapresti trovare un modo geometrico (senza fare calcoli, "con riga e compasso") per trovare il centro di rotazione ?
il fatto è che più che una rototraslazione mi sembra una traslazione semplice... Quindi il problema è lo stesso! Se devo dirla tutta, un metodo con riga e compasso in questo caso non saprei trovarlo. Nel senso: se i due segmenti \(\displaystyle AB \) e \(\displaystyle A'B' \) non avessero avuto la stessa direzione, il gioco sarebbe stato facile. Avrei potuto prolungarli fino a farli intersecare e il punto di intersezione sarebbe stato il centro di rotazione. Nel caso di segmenti paralleli ma che non appartengono alla stessa retta (che è un caso molto simile a quello da te proposto) questo metodo non funziona perché 2 rette parallele non si incontrano (ma qualcuno dice che si incontrino all'infinito!). Vuoi quindi dirmi che ha senso che il centro vada all'infinito? 
Opps, hai ragione ho corretto il mio post precedente.
" y7xj0m":
il fatto è che più che una rototraslazione mi sembra una traslazione semplice... Quindi il problema è lo stesso! Se devo dirla tutta, un metodo con riga e compasso in questo caso non saprei trovarlo. Nel senso: se i due segmenti \(\displaystyle AB \) e \(\displaystyle A'B' \) non avessero avuto la stessa direzione, il gioco sarebbe stato facile. Avrei potuto prolungarli fino a farli intersecare e il punto di intersezione sarebbe stato il centro di rotazione. Nel caso di segmenti paralleli ma che non appartengono alla stessa retta (che è un caso molto simile a quello da te proposto) questo metodo non funziona perché 2 rette parallele non si incontrano (ma qualcuno dice che si incontrino all'infinito!). Vuoi quindi dirmi che ha senso che il centro vada all'infinito?
A parte il mio refuso del post precedente, hai afferrato in parte il concetto, ma non è esattamente così.
Se fai la prova con le coordinate corrette $A=(0,0)\ B=(1,0)\ A'=(0,1)\ B'=(0,2)$, vedi che la tua costruzione non da il risultato sperato (ossia il centro di rotazione).
Provaci non è tempo perso.
Poi prova, lavorando con matrici 2x2, a scrivere la formula con matrici e vettori per la rototraslazione (nelle due combinazioni: prima rotazione poi traslazione e viceversa) e poi prova a costruire una formula "simile" usando le coordinate del centro di rotazione.
Però, ti ripeto, se non ha presente come si colloca geometricamente il centro di rotazione, ha poco senso scrivere delle formule.
Allora, ho provato a rivedere la costruzione e ho visto che posso ottenere il centro di rotazione come intersezione tra le mediane di \(\displaystyle AA' \) e \(\displaystyle BB' \). Se ho contato bene i quadretti il centro dovrebbe essere \(\displaystyle (-1/2,1/2) \) In qeusto modo è facile vedere che se 2 segmenti paralleli vengono trasformati in 2 segmenti paralleli, tale punto di intersezione non può essere trovato (se non all'infinito?). Così è corretto il ragionamento?
Non sono riuscita invece a capire la tua ultima richiesta... Così a naso l'unica cosa che mi viene da dire è che nell'esempio citato la traslazione (di vettore \(\displaystyle (0,1) \)) commuta con la rotazione (di centro \(\displaystyle (0,0) \) e angolo \(\displaystyle \pi/2 \).
Cosa intendi per formula con "matrici e vettori"?
Quando mi chiedi costruire una formula "simile" intendi che devo fare un cambio di sistema di riferimento?
In qeusto modo è facile vedere che se 2 segmenti paralleli vengono trasformati in 2 segmenti paralleli, tale punto di intersezione non può essere trovato (se non all'infinito?). Così è corretto il ragionamento? Non sono riuscita invece a capire la tua ultima richiesta... Così a naso l'unica cosa che mi viene da dire è che nell'esempio citato la traslazione (di vettore \(\displaystyle (0,1) \)) commuta con la rotazione (di centro \(\displaystyle (0,0) \) e angolo \(\displaystyle \pi/2 \).
Cosa intendi per formula con "matrici e vettori"?
Quando mi chiedi costruire una formula "simile" intendi che devo fare un cambio di sistema di riferimento?
" y7xj0m":
Allora, ho provato a rivedere la costruzione e ho visto che posso ottenere il centro di rotazione come intersezione tra le mediane di \(\displaystyle AA' \) e \(\displaystyle BB' \). Se ho contato bene i quadretti il centro dovrebbe essere \(\displaystyle (-1/2,1/2) \)
oookk, evviva.
In qeusto modo è facile vedere che se 2 segmenti paralleli vengono trasformati in 2 segmenti paralleli, tale punto di intersezione non può essere trovato (se non all'infinito?). Così è corretto il ragionamento?
Non sono riuscita invece a capire la tua ultima richiesta... Così a naso l'unica cosa che mi viene da dire è che nell'esempio citato la traslazione (di vettore \(\displaystyle (0,1) \)) commuta con la rotazione (di centro \(\displaystyle (0,0) \) e angolo \(\displaystyle \pi/2 \).
Cosa intendi per formula con "matrici e vettori"?
Quando mi chiedi costruire una formula "simile" intendi che devo fare un cambio di sistema di riferimento?
Intendo questa
$((Y),(X))=((a_0),(b_0))+((cos\alpha_0,sin\alpha_0),(-sin\alpha_0,cos\alpha_0))((y),(x))$
che si può anche scrivere così:
$((Y),(X))=((cos\alpha_0,sin\alpha_0),(-sin\alpha_0,cos\alpha_0))((y-a_1),(x-b_1))$
ovvero usando un centro di rotazione:
$((Y),(X))=((a_2),(b_2))+((cos\alpha_2,sin\alpha_2),(-sin\alpha_2,cos\alpha_2))((y-a_2),(x-b_2))$
scusami, ma mi sto perdendo 
in particolare con l'ultimo passaggio... non capisco che cosa vuoi arrivare a dire
in particolare con l'ultimo passaggio... non capisco che cosa vuoi arrivare a dire
Nell'ultimo passaggio, si fa un rotazione usando come "perno" il centro di rotazione.
Si trasla il tutto in modo da mettere il centro di rotazione $(a_2,b_2)$ nell'origine, quindi si effettua la rotazione, quindi si trasla "indietro" in modo da rimettere il centro di rotazione dove stava prima.
Si trasla il tutto in modo da mettere il centro di rotazione $(a_2,b_2)$ nell'origine, quindi si effettua la rotazione, quindi si trasla "indietro" in modo da rimettere il centro di rotazione dove stava prima.
ok... ma questo non mi chiarifica le idee sul mio problema di partenza
uff continuo a non capire](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
uff continuo a non capire
Prendiamo l'ultima espressione senza i pedici vari...
$((Y),(X))=((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y-a),(x-b))$
posso svolgere la moltiplicazione sulla destra e scriverla come
$((Y),(X))=((a),(b))-((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y),(x))$
ovvero
$((Y),(X))=((1-cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,1-cos\alpha))((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y),(x))$
Ora il termine
$((1-cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,1-cos\alpha))((a),(b))$
deve in qualche modo corrispondere a una traslazione (che supponiamo non sia nulla).
Se $\alpha->0$ la matrice tende a diventare singolare e quindi il punto all'infinito $((a),(b))$ deve "allontanarsi", fino a spostarsi all'infinito.
$((Y),(X))=((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y-a),(x-b))$
posso svolgere la moltiplicazione sulla destra e scriverla come
$((Y),(X))=((a),(b))-((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y),(x))$
ovvero
$((Y),(X))=((1-cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,1-cos\alpha))((a),(b))+((cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,cos\alpha))((y),(x))$
Ora il termine
$((1-cos\alpha,sin\alpha),(-sin\alpha,1-cos\alpha))((a),(b))$
deve in qualche modo corrispondere a una traslazione (che supponiamo non sia nulla).
Se $\alpha->0$ la matrice tende a diventare singolare e quindi il punto all'infinito $((a),(b))$ deve "allontanarsi", fino a spostarsi all'infinito.
"Quinzio":
Se $ \alpha->0 $ la matrice tende a diventare singolare e quindi il punto all'infinito $ ((a),(b)) $ deve "allontanarsi", fino a spostarsi all'infinito.
Cosa mi giustifica che se la matrice è singolare allora il punto tende all'infinito?
Per la moltiplicazioni matrice vettore vale la seguente:
$||Ax||\le||A||||x||$,
dove si è stabilita una certa norma.
Prendendo ad esempio la norma due, la norma di vettore diventa la distanza euclidea dal centro.
E' evidente che se $||A||->0$, $||x||->oo$, se $||Ax||!=0$.
$||Ax||\le||A||||x||$,
dove si è stabilita una certa norma.
Prendendo ad esempio la norma due, la norma di vettore diventa la distanza euclidea dal centro.
E' evidente che se $||A||->0$, $||x||->oo$, se $||Ax||!=0$.
ah ecco, vedi, la norma due non la conosco proprio... vabbé ci rinuncio, immagino che siano cose che non posso capire ora. Mi accontento di sapere che effettivamente è vero che il centro va all'infinito
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