Caso speciale teorema di Seifer-van Kampen
Ciao a tutti!
Dovrei dimostrare il seguente enunciato:
$X=A\cup B$, con $A$, $B$ semplicemente connessi e $A \cap B$ connesso per archi, allora $X$ è semplicemente connesso.
Provo a scrivere la mia dimostrazione:
Devo dimostrare che ogni curva chiusa in $X$ è contraibile.
Considero allora $f:[0,1]\rightarrow X$ tale che $f(0)=x_0=f(1)$, tale che $x_0 \in A\cap B$
L'idea è di dimostrare che $f$ è omotopa ad un prodotto $f_1...f_k$ di curve chiuse riferite a $x_0$ tali che $f_i$ è contenuta interamente o in $A$ o in $B$ per ogni $i$. Se questo fosse possibile, avrei dimostrato che $f$ è contraibile. Giusto?
Per il lemma di Lebesgue so che esiste una suddivisione $t_0=0
Considerando il prodotto ottengo una curva chiusa omotopa ad $f$ come desiderato.
Basta questo per dimostrare il teorema?
È corretto?
Grazie
Dovrei dimostrare il seguente enunciato:
$X=A\cup B$, con $A$, $B$ semplicemente connessi e $A \cap B$ connesso per archi, allora $X$ è semplicemente connesso.
Provo a scrivere la mia dimostrazione:
Devo dimostrare che ogni curva chiusa in $X$ è contraibile.
Considero allora $f:[0,1]\rightarrow X$ tale che $f(0)=x_0=f(1)$, tale che $x_0 \in A\cap B$
L'idea è di dimostrare che $f$ è omotopa ad un prodotto $f_1...f_k$ di curve chiuse riferite a $x_0$ tali che $f_i$ è contenuta interamente o in $A$ o in $B$ per ogni $i$. Se questo fosse possibile, avrei dimostrato che $f$ è contraibile. Giusto?
Per il lemma di Lebesgue so che esiste una suddivisione $t_0=0
Considerando il prodotto ottengo una curva chiusa omotopa ad $f$ come desiderato.
Basta questo per dimostrare il teorema?
È corretto?
Grazie
Risposte
Scusami ma non ho letto la tua dimostrazione...
Comunque una dimostrazione di questo fatto è sul Sernesi, Geometria 2. Si tratta del teorema 16.10. Lì però richiede che $A$ e $B$ siano aperti.
Comunque una dimostrazione di questo fatto è sul Sernesi, Geometria 2. Si tratta del teorema 16.10. Lì però richiede che $A$ e $B$ siano aperti.
vero... ci ho appena guardato e la dimostrazione è spiegata bene... mi sfugge dove entri in gioco il fatto che i due insiemi devono essere aperti... mi aiutate a capirlo per piacere?
Ho controllato anch'io. Anche a me sembra che il fatto che $A$ e $B$ siano aperti non entri il gioco.
Comunque il risultato che vuoi provare, come scrivi nel titolo del post, è un caso particolare del teorema di Seifert-Van Kampen, giusto?
L'esercizio è provare il risultato senza usare il teorema di Seifert-Van Kampen?
Comunque il risultato che vuoi provare, come scrivi nel titolo del post, è un caso particolare del teorema di Seifert-Van Kampen, giusto?
L'esercizio è provare il risultato senza usare il teorema di Seifert-Van Kampen?
Esattamente... Ora pero mi chiedo dove entri in gioco nella dimostrazione del sernesi il fatto che gli insiemi siano aperti!
Continuo a cercare di capire dove interferisca il fatto che i due insiemi devono essere aperti... qualcuno mi può aiutare a capire?
Secondo voi è possibile sostituire questa condizione o eliminarla? Perché nel mio caso specifico devo dimostrare questo teorema senza usare il teorema generale e poi applicarlo ad un caso dove gli insiemi che ho non sono aperti, ma il testo presuppone che si possa applicare anche per questo esempio.
In particolare ho $X$ uno spazio geodetico, per cui so che per ogni $x,y\in X$ il sottospazio $G(x,y)$ contenente tutte le geodetiche tra $x$ e $y$ é semplicemente connesso e attraverso quel teorema, dimostrando che l'intersezione (se non vuota) di due di questi sottospazi è connessa per archi, allora ho che la loro unione é semplicemente connessa!
Solo che ora mi trovo nella situazione che non capisco come fare ad applicare il teorema se è necessario che gli insiemi siano aperti!
Vi ringrazio per il vostro aiuto!
Secondo voi è possibile sostituire questa condizione o eliminarla? Perché nel mio caso specifico devo dimostrare questo teorema senza usare il teorema generale e poi applicarlo ad un caso dove gli insiemi che ho non sono aperti, ma il testo presuppone che si possa applicare anche per questo esempio.
In particolare ho $X$ uno spazio geodetico, per cui so che per ogni $x,y\in X$ il sottospazio $G(x,y)$ contenente tutte le geodetiche tra $x$ e $y$ é semplicemente connesso e attraverso quel teorema, dimostrando che l'intersezione (se non vuota) di due di questi sottospazi è connessa per archi, allora ho che la loro unione é semplicemente connessa!
Solo che ora mi trovo nella situazione che non capisco come fare ad applicare il teorema se è necessario che gli insiemi siano aperti!
Vi ringrazio per il vostro aiuto!
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