Carta e spazio delle configurazioni
Sono indeciso dove porre la domanda nel forum, provo in questa sezione in quanto mi sembra la più ragionevole. Nel caso abbia sbagliato chiedo scusa e spero qualcuno possa spostarla.
Ho da poco iniziato un corso alla mia facolta ed è stata data la seguente definizione di carta:
Prendo un aperto $U\subsetM$ (cioè U contenuto nello spazio delle configurazioni M di dimensione m)
Andrò a definire una mappa che dall'aperto U manda in $R^m$ dove m è la dimensione dello spazio delle configurazioni.
Ogni coppia $(U,\phi)$ con phi omeomorfismo: $\phi:U->R^m$
Mi sembrava chiaro se non fosse che dice: l'inversa della carta è una parametrizzazione.
Qui nasce il dubbio perché da quanto so una parametrizzazione è sempre una applicazione che manda da un dominio di dimensione n->m in cui nU\subsetR^m$ ha un dominio di dimensione maggiore.
C'è qualcosa che mi sfugge
Ho da poco iniziato un corso alla mia facolta ed è stata data la seguente definizione di carta:
Prendo un aperto $U\subsetM$ (cioè U contenuto nello spazio delle configurazioni M di dimensione m)
Andrò a definire una mappa che dall'aperto U manda in $R^m$ dove m è la dimensione dello spazio delle configurazioni.
Ogni coppia $(U,\phi)$ con phi omeomorfismo: $\phi:U->R^m$
Mi sembrava chiaro se non fosse che dice: l'inversa della carta è una parametrizzazione.
Qui nasce il dubbio perché da quanto so una parametrizzazione è sempre una applicazione che manda da un dominio di dimensione n->m in cui n
C'è qualcosa che mi sfugge
Risposte
U è un sottoinsieme di \(M\) e non di \(\mathbb R^m\). Fatti sempre un esempio, prendi come \(M\) la sfera e costruisciti varie carte (applicazioni a valori in \(\mathbb R^2\)) e parametrizzazioni (applicazioni a valori in \(M\)).
Ciao dissonance, grazie per la risposta. Credo di aver ancora bisogno del tuo aiuto per ordinare le idee, spero avrai tempo da dedicarmi ancora 
Ho capito quel che dici, ovvero che U è sottoinsieme di M. Tuttavia mi sorge un dubbio: quando in Analisi 2 andavo a parametrizzare curve o superfici ricordo che si prendeva (es: la sfera) una coppia di valori, quindi qualcosa contenuto in $RR^2$ (i classici rho e theta) e li si mandava in $RR^3$ (cioè rappresentavo x,y,z in funzione di $rho$ e $\theta$).
Dunque non comprendo perché la carta se è inversa della parametrizzazione non vada da $RR^3->U\subsetRR^2$ a questo punto.
Scusa la mia stupidità, ma voglio davvero capire
PS: forse ci sono in realtà l'applicazione "parametrizzazione" manda nel codominio $R^3$, però la mia immagine non è uno spazio vettoriale $R^3$ è un suo sottoinsieme $M$ che in particolare non è $R^3$ per l'appunto. M sarà poi il dominio della carta.
Era questo il punto che volevi farmi notare?
Ho capito quel che dici, ovvero che U è sottoinsieme di M. Tuttavia mi sorge un dubbio: quando in Analisi 2 andavo a parametrizzare curve o superfici ricordo che si prendeva (es: la sfera) una coppia di valori, quindi qualcosa contenuto in $RR^2$ (i classici rho e theta) e li si mandava in $RR^3$ (cioè rappresentavo x,y,z in funzione di $rho$ e $\theta$).
Dunque non comprendo perché la carta se è inversa della parametrizzazione non vada da $RR^3->U\subsetRR^2$ a questo punto.
Scusa la mia stupidità, ma voglio davvero capire
PS: forse ci sono in realtà l'applicazione "parametrizzazione" manda nel codominio $R^3$, però la mia immagine non è uno spazio vettoriale $R^3$ è un suo sottoinsieme $M$ che in particolare non è $R^3$ per l'appunto. M sarà poi il dominio della carta.
Era questo il punto che volevi farmi notare?
Esatto, è quello. Non per forza \(M\) deve essere un sottoinsieme di \(\mathbb R^N\) (non uso \(\mathbb R^n\) o \(\mathbb R^m\) apposta, per non fare confusione con i post precedenti). Stai considerando \(M\) come un insieme a parte, a sé stante. Può darsi che \(M\) sia incluso in uno spazio \(\mathbb R^N\), e tante volte sarà così; la sfera, per esempio, è inclusa in \(\mathbb R^3\). Ma ci sono anche varietà che non sono naturalmente immerse in \(\mathbb R^N\), il tipico esempio è il piano proiettivo.
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