Cardinalità Di $R^n$ e di $P(N)$
Salve a tutti, mi sono imbattuto nei seguenti problemi sulla Cradinalità/Potenza:
1) Nel tentativo di dimostrare che $R^n$ abbia la stessa cardinalità di $R$ ho pensato di adottare il seguente ragionamento:
i)Poiché $[0,1]$ ha la stessa cardinalità di $R$
ii) allora $R^n$ avrà la stessa cardinalità di $[0,1]^n$
iii) siccome $[0,1]^n=[0,1]$ come cardinalità allora R ha la stessa cardinalità di $R^n$
INCERTEZZE:
A)non riesco a dimostrare in alcun modo che $R$ abbia la stessa cardinalità di $[0,1]$, benché mi sembri intuitivamente corretto.
B) Il ragionamento delle potenze che ho fatto sopra mi preoccupa, forse non è corretto?
2)ho trovato un esercizio in cui mi viene chiesto di dimostrare che $P(N)$ abbia la stessa cardinalità di $R$, non ho idea di come procedere; l'esercizio suggerisce di rappresentare i numeri $[0,1]$ in forma decimale binaria del tipo: $0.a1a2a3...$ con $ai=0$ opppure $ai=1$ e mostrare la biunivocità fra questi e $P(N)$.
Il suddetto suggerimento mi manda in confusione, perché i numeri così scritti non sono più un intervallo di $R$ in quanto sono "discontinui" (con ciò intendo che manca di completezza).
3) cercando disperatamente su internet ho trovato una cosa strana:
$Card(R^n)=Card(R^(n-1) * R)=Card(R^(n-1))+Card(R)=Card(R)+Card(R)=Card(R^2)=Card(R)$
come si fanno ad ottenere i passaggi dalla seconda uguaglianza? implicano proprietà a me sconosciute?
(https://math.stackexchange.com/question ... r-is-equal)
Vi ringrazio anticipatamente
1) Nel tentativo di dimostrare che $R^n$ abbia la stessa cardinalità di $R$ ho pensato di adottare il seguente ragionamento:
i)Poiché $[0,1]$ ha la stessa cardinalità di $R$
ii) allora $R^n$ avrà la stessa cardinalità di $[0,1]^n$
iii) siccome $[0,1]^n=[0,1]$ come cardinalità allora R ha la stessa cardinalità di $R^n$
INCERTEZZE:
A)non riesco a dimostrare in alcun modo che $R$ abbia la stessa cardinalità di $[0,1]$, benché mi sembri intuitivamente corretto.
B) Il ragionamento delle potenze che ho fatto sopra mi preoccupa, forse non è corretto?
2)ho trovato un esercizio in cui mi viene chiesto di dimostrare che $P(N)$ abbia la stessa cardinalità di $R$, non ho idea di come procedere; l'esercizio suggerisce di rappresentare i numeri $[0,1]$ in forma decimale binaria del tipo: $0.a1a2a3...$ con $ai=0$ opppure $ai=1$ e mostrare la biunivocità fra questi e $P(N)$.
Il suddetto suggerimento mi manda in confusione, perché i numeri così scritti non sono più un intervallo di $R$ in quanto sono "discontinui" (con ciò intendo che manca di completezza).
3) cercando disperatamente su internet ho trovato una cosa strana:
$Card(R^n)=Card(R^(n-1) * R)=Card(R^(n-1))+Card(R)=Card(R)+Card(R)=Card(R^2)=Card(R)$
come si fanno ad ottenere i passaggi dalla seconda uguaglianza? implicano proprietà a me sconosciute?
(https://math.stackexchange.com/question ... r-is-equal)
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Mi sa che ci sono molte parentesi quadre invece di parentesi tonde: l'intervallo che ti serve è \((0,1)\).
(1) Puoi pensarla geometricamente, così per farrti una prima idea... Prendi una retta e su questa invidua un segmento di lunghezza unitaria: la parte interna di questo segmento sarà quello che rappresenta l'insieme \((0,1)\). Su questo segmento disegni tangente nel punto medio una circonferenza di raggio \(\frac 1 2\). Il fatto che \((0,1) \cong \mathbb R\) lo vedi così: prendi un punto \(x\) della parte interna del segmento preso in esame; traccia la perpendicolare al segmento in \(x\), la quale intersecherà la circonferenza in due punti, ma tu prendi quello meno distante, e chiamalo \(y\); ora traccia la semiretta uscente dal centro della circonferenza e passante per \(y\); questa interseca la nostra retta in uno e un solo punto, \(z\): Insomma, eccoti la biezione cercata! Puoi trovare una "formula" esplicita di questa biezione con un po' di geometria semplice semplice.
Ora che hai una biezione \(f : (0,1) \to \mathbb R\), puoi considerare una funzione \[\underbrace{f \times \dots \times f}_{n \text{ volte}} : (0,1)^n \to \mathbb R^n\] che manda una tupla \((x_1, \dots, x_n)\) nella tupla \((f(x_1), \dots, f(x_n))\). E capisci ora che siffatta funzione è biettiva.
Resta da vedere che \((0,1) \cong (0,1)^n\), la qualcosa si fa facilmente per induzione.
(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1] \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
(3) Io non mi preoccuperei tanto. Si tratta di sapere che il prodotto cartesiano di due insiemi con la potenza del continuo, ha la potenza del continuo (cosa che si appoggia al fatto che \(\mathbb R \times \mathbb R \cong \mathbb R\)). Generalizzando, lo fai induttivamente, \(\mathbb R^n\) ha la potenza del continuo per ogni \(n \in \mathbb N\).
Sicuro che non ci sia qualche errore di battitura?
(1) Puoi pensarla geometricamente, così per farrti una prima idea... Prendi una retta e su questa invidua un segmento di lunghezza unitaria: la parte interna di questo segmento sarà quello che rappresenta l'insieme \((0,1)\). Su questo segmento disegni tangente nel punto medio una circonferenza di raggio \(\frac 1 2\). Il fatto che \((0,1) \cong \mathbb R\) lo vedi così: prendi un punto \(x\) della parte interna del segmento preso in esame; traccia la perpendicolare al segmento in \(x\), la quale intersecherà la circonferenza in due punti, ma tu prendi quello meno distante, e chiamalo \(y\); ora traccia la semiretta uscente dal centro della circonferenza e passante per \(y\); questa interseca la nostra retta in uno e un solo punto, \(z\): Insomma, eccoti la biezione cercata! Puoi trovare una "formula" esplicita di questa biezione con un po' di geometria semplice semplice.
Ora che hai una biezione \(f : (0,1) \to \mathbb R\), puoi considerare una funzione \[\underbrace{f \times \dots \times f}_{n \text{ volte}} : (0,1)^n \to \mathbb R^n\] che manda una tupla \((x_1, \dots, x_n)\) nella tupla \((f(x_1), \dots, f(x_n))\). E capisci ora che siffatta funzione è biettiva.
Resta da vedere che \((0,1) \cong (0,1)^n\), la qualcosa si fa facilmente per induzione.
(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1] \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
(3) Io non mi preoccuperei tanto. Si tratta di sapere che il prodotto cartesiano di due insiemi con la potenza del continuo, ha la potenza del continuo (cosa che si appoggia al fatto che \(\mathbb R \times \mathbb R \cong \mathbb R\)). Generalizzando, lo fai induttivamente, \(\mathbb R^n\) ha la potenza del continuo per ogni \(n \in \mathbb N\).
Sicuro che non ci sia qualche errore di battitura?
"kaspar":
Mi sa che ci sono molte parentesi quadre invece di parentesi tonde: l'intervallo che ti serve è \((0,1)\).
Ho tenuto le parentesi quadre per mantenere quelle utilizzate nel libro che sto studiando, ipotizzo siano analoghe a quelle tonde al fine di queste considerazioni dato che in entrambi i casi rientreremmo in un sottospazio di R, giusto?
"kaspar":
(1) Puoi pensarla geometricamente, così per farti una prima idea...
GENIALE!! Complimenti
"kaspar":
Puoi trovare una "formula" esplicita di questa biezione con un po' di geometria semplice semplice.
Perdona l'ignoranza, ma come lo faresti? scrivendo una formula a partire da R che rimandi alla circonferenza in $(0,1)$ e viceversa?
"kaspar":
Ora che hai una biezione \(f : (0,1) \to \mathbb R\), puoi considerare una funzione \[\underbrace{f \times \dots \times f}_{n \text{ volte}} : (0,1)^n \to \mathbb R^n\] che manda una tupla \((x_1, \dots, x_n)\) nella tupla \((f(x_1), \dots, f(x_n))\). E capisci ora che siffatta funzione è biettiva.
Resta da vedere che \((0,1) \cong (0,1)^n\), la qualcosa si fa facilmente per induzione.
Non basterebbe osservare che qualsiasi potenza di un'intervallo $(0,1)$ restituisce l'intervallo stesso?
"kaspar":
(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1) \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
Ho cercato di rifletterci un giorno intero su questa tua indicazione, ma non riesco comunque a dimostrarlo...
immagino di non esserne in grado
; potresti illuminarmi tu con la dimostrazione?"kaspar":
(3) Io non mi preoccuperei tanto. Si tratta di sapere che il prodotto cartesiano di due insiemi con la potenza del continuo, ha la potenza del continuo (cosa che si appoggia al fatto che \(\mathbb R \times \mathbb R \cong \mathbb R\)). Generalizzando, lo fai induttivamente, \(\mathbb R^n\) ha la potenza del continuo per ogni \(n \in \mathbb N\).
Sicuro che non ci sia qualche errore di battitura?
ahimè no, ma scritto così mi sembra di partire dal risultato della dimostrazione per risolvere la dimostrazione stessa; per quello non mi convince molto
Più che altro una funzione che mandi da \((0,1)\) (il segmento) a \(\mathbb R\) (l'intera retta). Metto in spoiler un abbozzo.
Perdona l'ignoranza, ma come lo faresti? scrivendo una formula a partire da R che rimandi alla circonferenza in (0,1) e viceversa?
Non basterebbe osservare che qualsiasi potenza di un'intervallo (0,1) restituisce l'intervallo stesso?
Ehm no
Una funzione iniettiva molto naturale è l'inclusione, ovvero la funzione \(i : (0,1) \to [0,1]\) tale che \(i(x) = x\). Un'altra iniezione molto naturale è \(j : [0,1] \to \mathbb R\), sempre \(j(x) = x\). Ora se prendiamo una biezione \(f\) da \(\mathbb R\) a \((0,1)\) (ce n'è almeno una), abbiamo l'iniezione \[
C'è da sistemare il dettaglio \([0,1] \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
f \circ j : [0,1] \to \mathbb R \to (0,1)
\] La situazione a cui siamo pervenuti è quella di due iniezioni \begin{align*}
i &: (0,1) \to [0,1] \\
f \circ j &: [0,1] \to (0,1) \\
\end{align*} e quindi per CBS abbiamo che \([0,1] \cong (0,1)\).
Non ho capito la perplessità
ma scritto così mi sembra di partire dal risultato della dimostrazione per risolvere la dimostrazione stessa; per quello non mi convince molto
Invero, per trovare una biezione tra \((0,1)\) e \(\mathbb R\) si può pensare di agire per contazioni/dilatazioni e traslazioni di funzioni biunivoche aventi intervalli aperti e limitati come codominii. Un buon candidato è la funzione arcotangente \(\operatorname{arctg}\) che per noi sarà una funzione \(\mathbb R \to (-\frac \pi 2, \frac \pi 2)\) biunivoca. Chiamiamo nel nostro discorso le funzioni biunivoche \begin{align*}
\tau : \left(-\frac 1 2, \frac 1 2\right) \to (0,1),& \quad x \to x+\frac 12 \\
\delta : \left(-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right) \to \left(-\frac 1 2, \frac 1 2 \right),& \quad x \to \frac x \pi \\
\end{align*}
La biezione che ci interessa è la composizione di funzioni biunivoche \(\tau \circ \delta \circ \operatorname{arctg} : \mathbb R \to (0,1)\) tale che \[
(\tau \circ \delta \circ \operatorname{arctg}) (x) = \frac 1 \pi \operatorname{arctg}(x) + \frac 1 2
\]
\tau : \left(-\frac 1 2, \frac 1 2\right) \to (0,1),& \quad x \to x+\frac 12 \\
\delta : \left(-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right) \to \left(-\frac 1 2, \frac 1 2 \right),& \quad x \to \frac x \pi \\
\end{align*}
La biezione che ci interessa è la composizione di funzioni biunivoche \(\tau \circ \delta \circ \operatorname{arctg} : \mathbb R \to (0,1)\) tale che \[
(\tau \circ \delta \circ \operatorname{arctg}) (x) = \frac 1 \pi \operatorname{arctg}(x) + \frac 1 2
\]
Ti ringrazio davvero per la chiarezza e il tempo che mi dedichi, ti prego di avere pazienza (è la prima volta che studio queste cose):
Provo a esplicitare quello che ho capito:
Sarò stupido io, ma mi torna tutto tranne $X$ che ha coordinate $(0.89,0)$; ipotizzando che vada bene anche un $X$ con coordinate $(1,0)$: siccome vi è un modo unico di scrivere i due triangoli $CBZ$ e $YXZ$ perché siano simili con quelle precise coordinate e questo vale per tutti gli infiniti punti, allora concludo che ci sia una Biezione?
Allora tento la soluzione:
poiché abbiamo
i) $(0,1)cong(0,1)^1$
ii)e abbiamo $(0,1)cong(0,1)^2$ in quanto per proprietà della potenza $(0,1)^2=(0,1)$
iii) allora $(0,1)cong(0,1)^n$
è corretto?
ok, mi torna: giusto una curiosità, quando attribuisco una trasformazione biunivoca tra il numero in binario $0.\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots$ nell'intervallo $[0,1)$ associandoli sottoinsieme $\{k \in \mathbb N|\alpha_k=1\}$ è come se io prendessi il caso in cui il k-esimo valore sia $1$ e i restanti successivi $0$?
ad esempio con $K=3$ avrò ${0.001,0.011;0.111,0.101}$ a cui associo il $P(N)$ che corrisponde a $K=3$, quindi {$0,1,2,3}$.
questo ragionamento è corretto?
come si ricava questo passaggio senza sfruttare la conoscenza di ugual cardinalità$Card(R^(n-1) *R)=Card(R^(n-1))+Card(R)$?
"kaspar":Più che altro una funzione che mandi da \((0,1)\) (il segmento) a \(\mathbb R\) (l'intera retta). Metto in spoiler un abbozzo.
Perdona l'ignoranza, ma come lo faresti? scrivendo una formula a partire da R che rimandi alla circonferenza in (0,1) e viceversa?
Provo a esplicitare quello che ho capito:
Sarò stupido io, ma mi torna tutto tranne $X$ che ha coordinate $(0.89,0)$; ipotizzando che vada bene anche un $X$ con coordinate $(1,0)$: siccome vi è un modo unico di scrivere i due triangoli $CBZ$ e $YXZ$ perché siano simili con quelle precise coordinate e questo vale per tutti gli infiniti punti, allora concludo che ci sia una Biezione?
"kaspar":
Ehm no
Allora tento la soluzione:
poiché abbiamo
i) $(0,1)cong(0,1)^1$
ii)e abbiamo $(0,1)cong(0,1)^2$ in quanto per proprietà della potenza $(0,1)^2=(0,1)$
iii) allora $(0,1)cong(0,1)^n$
è corretto?
"kaspar":
Una funzione iniettiva molto naturale è l'inclusione, ovvero la funzione \(i : (0,1) \to [0,1)\) tale che \(i(x) = x\). Un'altra iniezione molto naturale è \(j : [0,1) \to \mathbb R\), sempre \(j(x) = x\). Ora se prendiamo una biezione \(f\) da \(\mathbb R\) a \((0,1)\) (ce n'è almeno una), abbiamo l'iniezione \[
f \circ j : [0,1) \to \mathbb R \to (0,1)
\] La situazione a cui siamo pervenuti è quella di due iniezioni \begin{align*}
i &: (0,1) \to [0,1) \\
f \circ j &: [0,1) \to (0,1) \\
\end{align*} e quindi per CBS abbiamo che \([0,1) \cong (0,1)\).
ok, mi torna: giusto una curiosità, quando attribuisco una trasformazione biunivoca tra il numero in binario $0.\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots$ nell'intervallo $[0,1)$ associandoli sottoinsieme $\{k \in \mathbb N|\alpha_k=1\}$ è come se io prendessi il caso in cui il k-esimo valore sia $1$ e i restanti successivi $0$?
ad esempio con $K=3$ avrò ${0.001,0.011;0.111,0.101}$ a cui associo il $P(N)$ che corrisponde a $K=3$, quindi {$0,1,2,3}$.
questo ragionamento è corretto?
"kaspar":
Non ho capito la perplessità
come si ricava questo passaggio senza sfruttare la conoscenza di ugual cardinalità$Card(R^(n-1) *R)=Card(R^(n-1))+Card(R)$?
"Umberto93":Allora ci andiamo piano...
Ti ringrazio davvero per la chiarezza e il tempo che mi dedichi, ti prego di avere pazienza (è la prima volta che studio queste cose):
"Umberto93":
Provo a esplicitare quello che ho capito: sarò stupido io, ma mi torna tutto tranne $X$ che ha coordinate $(0.89,0)$; ipotizzando che vada bene anche un $X$ con coordinate $(1,0)$: siccome vi è un modo unico di scrivere i due triangoli $CBZ$ e $YXZ$ perché siano simili con quelle precise coordinate e questo vale per tutti gli infiniti punti, allora concludo che ci sia una Biezione?
Mi sono dimenticato di togliere il pannello di alegbra in Geogebra quando ho fatto lo screenshot... Comunque (meglio ripetere) il mio era un suggerimento per trovare una biezione per via geometrica. Metto in spoiler quello che pensavo.
Tieni conto comunque che nel mio penultimo post ti ho fatto vedere come con la funzione arcotangente puoi costruire di fatto la biezione che ti serve.
"Umberto93":
[quote="kaspar"]
Ehm no
Allora tento la soluzione:
poiché abbiamo
i) $(0,1)cong(0,1)^1$
ii)e abbiamo $(0,1)cong(0,1)^2$ in quanto per proprietà della potenza $(0,1)^2=(0,1)$
iii) allora $(0,1)cong(0,1)^n$
è corretto?
[/quote]
Allora mettiamo da parte l'induzione, visto che è un po' tecnica. E mi sa che c'è un problema ben più a monte: \((0,1)^n\) è l'insieme delle \(n\)-uple \((x_1, \dots, x_n)\) con \(x_1, \dots, x_n \in (0,1)\). Non altro.
Facciamo così. Ti suggerisco l'idea per \(n = 3\). Considera la funzione che manda la \(3\)-pla
\[(0.a_0a_1a_3 \dots, 0.b_0b_1b_2\dots, 0.c_0c_1c_2 \dots)\]
nel numero reale \(0.a_0b_0c_0a_1b_1c_1a_2b_2c_2 \dots\), in un certo senso "intrecciando" le componenti della \(3\)-pla. È una biezione \((0,1)^3 \to (0,1)\), ed è facile verificarlo. Puoi generalizzarlo facilmente per qualsiasi \(n \in \mathbb N\).
Per quanto riguarda l'equipotenza tra \(P(\mathbb N)\) e \([0,1]\) l'idea è questa: ad esempio \(0.10001110001111\) è mandato nel sottoinsieme \(\{0, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13\}\) di \(\mathbb N\) perché dopo la virgola la zeresima, la quarta, la quinta, la sesta, la decima, l'undicesima, la dodicesima e la tredicesima cifra sono uguali a uno, tutte le altre \(0\). Chiaro?
Mi sono reso conto da un po' di giorni che ho fatto una gaffe, ma mi sono scordato di correggerlo, lo faccio adesso.
Il detaglio da sistemare non è \([0,1) \cong (0,1)\), ma \([0,1] \cong (0,1)\), entrambe le parentesi quadre. Il fatto è che \(0.\bar 1 = 1\), vedi qui. Tuttavia, il ragionamento che ho fatto non viene invalidato, basta correggere qualche parentesi...
"kaspar":
(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1) \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
Il detaglio da sistemare non è \([0,1) \cong (0,1)\), ma \([0,1] \cong (0,1)\), entrambe le parentesi quadre. Il fatto è che \(0.\bar 1 = 1\), vedi qui. Tuttavia, il ragionamento che ho fatto non viene invalidato, basta correggere qualche parentesi...
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