Cardinalità del continuo
$ RR $ e $ ( RR )^(2) $ hanno la cardinalità del continuo, quindi sono equipotenti? Ma allora dovrebbe esistere un'applicazione biiettiva tra i due insiemi? Quale?
Risposte
Comunque la curva di Peano è già un esempio raffinato: oltre ad essere suriettiva, è pure continua.
L'esempio che ti piacerà sicuramente di più è questo: manda la coppia [tex](0.x_1x_2x_3\ldots,0.y_1y_2y_3\ldots)[/tex] di decimali in [tex]0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\ldots[/tex] (dal quadrato nel segmento unitario, ma sarai d'accordo che è la stessa cosa). Ti lascio da svolgere i dettagli.
L'esempio che ti piacerà sicuramente di più è questo: manda la coppia [tex](0.x_1x_2x_3\ldots,0.y_1y_2y_3\ldots)[/tex] di decimali in [tex]0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\ldots[/tex] (dal quadrato nel segmento unitario, ma sarai d'accordo che è la stessa cosa). Ti lascio da svolgere i dettagli.
Sì, ma non sono iniettive... no?
Beh, la curva di Peano no, ma per il teorema di Cantor Schroeder Bernstein ti basta una suriettiva, in questo caso, per ottenere una biiettiva (infatti, hai palesemente una mappa iniettiva [tex]\mathbb R \hookrightarrow \mathbb R^2[/tex]).
La seconda (molto più elementare), è invece biunivoca. Come dicevo prima, non vorrei fare i dettagli. Non tanto perché non ne sono capace o perché non ne ho voglia, quanto perché ritengo che sia un buon esercizio per te.
La seconda (molto più elementare), è invece biunivoca. Come dicevo prima, non vorrei fare i dettagli. Non tanto perché non ne sono capace o perché non ne ho voglia, quanto perché ritengo che sia un buon esercizio per te.
Grazie! 
@maurer
Molti anni or sono, leggendo una trattazione originale di teoria degli insiemi, mi era parso di capire che le biiezioni del tipo $[f:RR^n->RR^m]$ non potessero essere continue. Tra l'altro, proprio avvalendosi di questa proprietà, l'autore giustificava il concetto di dimensione. In ogni modo, ci tengo a precisare che non sono molto esperto in materia. Mi sto perdendo qualcosa?
Molti anni or sono, leggendo una trattazione originale di teoria degli insiemi, mi era parso di capire che le biiezioni del tipo $[f:RR^n->RR^m]$ non potessero essere continue. Tra l'altro, proprio avvalendosi di questa proprietà, l'autore giustificava il concetto di dimensione. In ogni modo, ci tengo a precisare che non sono molto esperto in materia. Mi sto perdendo qualcosa?
Sicuramente, le biiezioni da [tex]\mathbb R^n[/tex] a [tex]\mathbb R^m[/tex] non possono essere bicontinue a meno che [tex]n = m[/tex]: si chiama, per l'appunto, teorema della dimensione e, per come lo conosco io, si dimostra con tecniche di topologia algebrica. In particolare, bisogna calcolare tutti i gruppi di omologia singolare della sfera.
Nel caso di [tex]\mathbb R[/tex] e [tex]\mathbb R^2[/tex] è più semplice mostrare che non esiste un omeomorfismo tra i due: togliendo un punto da [tex]\mathbb R[/tex] ottieni un insieme con due componenti connesse, mentre togliere un punto da [tex]\mathbb R^2[/tex] non ne altera la connessione (anche se ovviamente non rimane più semplicemente connesso).
Nel nostro caso, non c'è nessuna contraddizione. Come abbiamo specificato, la curva di Peano è continua e suriettiva, ma non è iniettiva. L'altra applicazione che ho definito, dubito che possa essere continua, anche se bisognerebbe fare i conti.
In generale, tuttavia, non so rispondere alla domanda: esiste una biezione continua da [tex]\mathbb R[/tex] a [tex]\mathbb R^2[/tex]? Sicuramente se una cosa siffatta esiste, l'inversa non è più continua, ma non conosco la risposta a questa domanda ed al momento non ho idee intelligenti al riguardo.
Nel caso di [tex]\mathbb R[/tex] e [tex]\mathbb R^2[/tex] è più semplice mostrare che non esiste un omeomorfismo tra i due: togliendo un punto da [tex]\mathbb R[/tex] ottieni un insieme con due componenti connesse, mentre togliere un punto da [tex]\mathbb R^2[/tex] non ne altera la connessione (anche se ovviamente non rimane più semplicemente connesso).
Nel nostro caso, non c'è nessuna contraddizione. Come abbiamo specificato, la curva di Peano è continua e suriettiva, ma non è iniettiva. L'altra applicazione che ho definito, dubito che possa essere continua, anche se bisognerebbe fare i conti.
In generale, tuttavia, non so rispondere alla domanda: esiste una biezione continua da [tex]\mathbb R[/tex] a [tex]\mathbb R^2[/tex]? Sicuramente se una cosa siffatta esiste, l'inversa non è più continua, ma non conosco la risposta a questa domanda ed al momento non ho idee intelligenti al riguardo.
"maurer":
Sicuramente, le biiezioni da [tex]\mathbb R^n[/tex] a [tex]\mathbb R^m[/tex] non possono essere bicontinue: si chiama, per l'appunto, teorema della dimensione e...
Ok, mi stavo perdendo qualcosa. Avevo dimenticato la condizione sulla bicontinuità. Mi basta questo, anche perchè non sono un esperto. Grazie del chiarimento.
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