Caratterizzazione delle matrici invertibili.
Buonasera, ora non ricordo con esattezza se ho già pubblicato questo topic, ad ogni modo non mi risulta chiaro una proposizione che riguarda le matrici invertibili.
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ indico con tale simbolo una matrice rettangolare con $n$ righe e $m$ colonne.
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ , considero l'applicazione lineare
Proposizione:
$A in M_(n,m)(mathbb{K}).$
i) $exists B in M_(m,n)(mathbb{K})\: AB=I_n <=>$ le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$
ii) $exists C in M_(m,n)(mathbb{K})\: CA=I_n <=>$ le righe di $A$ generano $mathbb({K^n})^T$
iii)Se esistono $B,C$ sopra, allora sono uniche e vale $n=m$ e $B=C$.
Dimostro la i).
$=>$ sia $x=(x_1,x_2,...,x_n)^T in mathbb{K^n}$. Risulta
$x\ =(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad =I_n*(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad=(AB)(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad=A(B(x_1,x_2,...,x_n)^T)$
$qquad=A(f_B(x))$
$f_B(x)$ è un vettore colonna di $mathbb{K^m}$, dunque esiste $c in mathbb{K^m}$ con $c=(c_1,c_2,...,c_m)$ per cui $f_B(x)=c$.
Allora, $x=Ac$, per il prodotto righe per colonne si ha
$ lArr $
Allora esistono $b^1=(b_(11),b_(21),...,b_(m1))^T$ per cui $(1,0,...,0,0)^T=Ab^1$.
Ripetendo questo procedimeno otteniamo una matrice $B=[b^1,b^2,...,b^n] \ :\ AB=I_n$
Dimostro la ii)
$=>$
$I_n=(I_n)^T=(CA)^T=A^TC^T =>^(i)$ le colonne di $A^T$ generano $mathbb{K^n}$, cioè le righe $A$ generano $mathbb({K^n})^T$.
Allora $mlen$
$ lArr $
le righe di $A$ generano $mathbb({K^n})^T$ allora le colonne di $A^T$ generano $mathbb{K^n}$ per cui per la i) esiste $C^T in M_(n,m)(mathbb{K}) \ : \A^TC^T=I_n$.
Allora esiste $C in M_(m,n)(mathbb{K})\:\ CA=I_n $
Dimostro la iii)
La relazione $n=m$ segue dalla due disuguaglianze.
Siano $B,C$ come sopra, allora si ha $C=CI_n=C(AB)=(CA)B=I_nB=B$, infine l'unicità
$AB'=I_n => C=CI_n=C(AB')=(CA)B'=I_nB'=B'$, dunque $B=C=B'$ e cioè $B=B'$
$C'A=I_n => B=I_nB=(C'A)B=C'(AB)=C'I_n=C'$, dunque $C=B=C'$ e cioè $C=C'$
Non sono sicuro di avere fatto bene, potrebbe andare?
Saluti
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ indico con tale simbolo una matrice rettangolare con $n$ righe e $m$ colonne.
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ , considero l'applicazione lineare
$f_A: x in mathbb{K^m} to f_A(x)=Ax in mathbb{K^n}$
Proposizione:
$A in M_(n,m)(mathbb{K}).$
i) $exists B in M_(m,n)(mathbb{K})\: AB=I_n <=>$ le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$
ii) $exists C in M_(m,n)(mathbb{K})\: CA=I_n <=>$ le righe di $A$ generano $mathbb({K^n})^T$
iii)Se esistono $B,C$ sopra, allora sono uniche e vale $n=m$ e $B=C$.
Dimostro la i).
$=>$ sia $x=(x_1,x_2,...,x_n)^T in mathbb{K^n}$. Risulta
$x\ =(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad =I_n*(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad=(AB)(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$qquad=A(B(x_1,x_2,...,x_n)^T)$
$qquad=A(f_B(x))$
$f_B(x)$ è un vettore colonna di $mathbb{K^m}$, dunque esiste $c in mathbb{K^m}$ con $c=(c_1,c_2,...,c_m)$ per cui $f_B(x)=c$.
Allora, $x=Ac$, per il prodotto righe per colonne si ha
$x=Ac= ( ( a_11c_1+a_12c_2+...+a_(1m)c_m ),( a_21c_1+a_22c_2+...+a_(2m)c_m ),( ................................ ),(................................ ),( a_(n1)c_1+a_(n2)c_2+...+a_(n\m)c_(m))) =c_1A^1+c_2A^2+...+c_mA^m$
Allora $mgen$$ lArr $
Allora esistono $b^1=(b_(11),b_(21),...,b_(m1))^T$ per cui $(1,0,...,0,0)^T=Ab^1$.
Ripetendo questo procedimeno otteniamo una matrice $B=[b^1,b^2,...,b^n] \ :\ AB=I_n$
Dimostro la ii)
$=>$
$I_n=(I_n)^T=(CA)^T=A^TC^T =>^(i)$ le colonne di $A^T$ generano $mathbb{K^n}$, cioè le righe $A$ generano $mathbb({K^n})^T$.
Allora $mlen$
$ lArr $
le righe di $A$ generano $mathbb({K^n})^T$ allora le colonne di $A^T$ generano $mathbb{K^n}$ per cui per la i) esiste $C^T in M_(n,m)(mathbb{K}) \ : \A^TC^T=I_n$.
Allora esiste $C in M_(m,n)(mathbb{K})\:\ CA=I_n $
Dimostro la iii)
La relazione $n=m$ segue dalla due disuguaglianze.
Siano $B,C$ come sopra, allora si ha $C=CI_n=C(AB)=(CA)B=I_nB=B$, infine l'unicità
$AB'=I_n => C=CI_n=C(AB')=(CA)B'=I_nB'=B'$, dunque $B=C=B'$ e cioè $B=B'$
$C'A=I_n => B=I_nB=(C'A)B=C'(AB)=C'I_n=C'$, dunque $C=B=C'$ e cioè $C=C'$
Non sono sicuro di avere fatto bene, potrebbe andare?
Saluti
Risposte
Ho detto qualcosa di terribilmente catastrofico? 
Ma no, figurati...
Nella dimostrazione di i) \(\Rightarrow\) concludi che \(m\geq n\): cosa vuoi affermare con ciò?
Nella dimostrazione di i) \(\Rightarrow\) concludi che \(m\geq n\): cosa vuoi affermare con ciò?
Ciao j18eos, che le colonne di $A$ essendo un sistema di generatori (supponendo che i passaggi dimostrativi siano corretti) per $mathbb{K^n}$ deve essere $m ge n$. Simile al punto ii) dove risulta $n ge m$.
Posso considerare la dimostrazione attendibile ?
Non mi trovo: risulta che i vettori colonna di \(A\) generano \(\mathbb{K}^m\) e non \(\mathbb{K}^n\).
C'è un errore nel testo?
C'è un errore nel testo?
Ciao, questa proposizione la trovi sulle dispense del prof. Manetti.
La i) e ii) sono dimostrate diversamente perché le ho fatte io, invece la iii) è quella sua.
Non ho capito il punto che non ti trovi.
$ x\ =(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^1I_n*(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^2(AB)(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^3A(B(x_1,x_2,...,x_n)^T) $
$ qquad =^5A(f_B(x)) $
1= Elemento neutro per il prodotto di matrici
2= Posizione
3= Associatività del prodotto di matrici
4= Posizione
il vettore $f(B(x))$ è un vettore colonna di $m$ righe per cui è un elemento di $mathbb{K^m}$ perché la matrice $B$ è rettangolare con $m$ righe e $n$ colonne quindi facendo il prodotto di $B$ per il vettore riga di $M_(n,1)(mathbb{K})$
Per il prodotto fra matrici sappiamo come sono fatte le righe di $f(B(x))$ cioè sono combinazioni lineari che vivono in $mathbb{K}$, quindi esiste $ c in mathbb{K^m} $ con $ c=(c_1,c_2,...,c_m) $ per cui si ha la posizione $ f_B(x)=c $.
Dunque, risulta per il prodotto fra matrici
Allora dalla arbitrarietà di $x in mathbb{K^n}$ risulta quindi che le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$
Per una delle conseguenze del teorema dello scambio, sappiamo che l'ordine minimo di un sistema di generatori è pari alla dimensione dello spazio vettoriale.
Quindi essendo $S=\=mathbb{K^n}$ segue che $|S|=mgen.$
Similmente si ha l'altra relazione, basta trasporre .
La i) e ii) sono dimostrate diversamente perché le ho fatte io, invece la iii) è quella sua.
Non ho capito il punto che non ti trovi.
$ x\ =(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^1I_n*(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^2(AB)(x_1,x_2,...,x_n)^T $
$ qquad =^3A(B(x_1,x_2,...,x_n)^T) $
$ qquad =^5A(f_B(x)) $
1= Elemento neutro per il prodotto di matrici
2= Posizione
3= Associatività del prodotto di matrici
4= Posizione
il vettore $f(B(x))$ è un vettore colonna di $m$ righe per cui è un elemento di $mathbb{K^m}$ perché la matrice $B$ è rettangolare con $m$ righe e $n$ colonne quindi facendo il prodotto di $B$ per il vettore riga di $M_(n,1)(mathbb{K})$
Per il prodotto fra matrici sappiamo come sono fatte le righe di $f(B(x))$ cioè sono combinazioni lineari che vivono in $mathbb{K}$, quindi esiste $ c in mathbb{K^m} $ con $ c=(c_1,c_2,...,c_m) $ per cui si ha la posizione $ f_B(x)=c $.
Dunque, risulta per il prodotto fra matrici
$ x=Ac= ( ( a_11c_1+a_12c_2+...+a_(1m)c_m ),( a_21c_1+a_22c_2+...+a_(2m)c_m ),( ................................ ),(................................ ),( a_(n1)c_1+a_(n2)c_2+...+a_(n\m)c_(m))) =c_1A^1+c_2A^2+...+c_mA^m $
Allora dalla arbitrarietà di $x in mathbb{K^n}$ risulta quindi che le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$
Per una delle conseguenze del teorema dello scambio, sappiamo che l'ordine minimo di un sistema di generatori è pari alla dimensione dello spazio vettoriale.
Quindi essendo $S=
Similmente si ha l'altra relazione, basta trasporre .
Qualche conferma ? 
Sì, mi trovo adesso.
Come ho già scritto altrove: io gli appunti didattici del prof. Manetti non li capiscono bene...
Come ho già scritto altrove: io gli appunti didattici del prof. Manetti non li capiscono bene...
Grazie...
Non sei solo, ci sono alcune cose che non sono che a me non sono chiare dei suoi appunti, ad esempio la dimostrazione che $A in M_n(\mathbb{K})$ risulta $det(A)=det(A^T)$.
Non sei solo, ci sono alcune cose che non sono che a me non sono chiare dei suoi appunti, ad esempio la dimostrazione che $A in M_n(\mathbb{K})$ risulta $det(A)=det(A^T)$.
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