Caratterizzazione delle basi di uno spazio vettoriale.
Buonasera, sto studiando una proposizione che riguarda alcune caratterizzazione delle basi la quale non mi è molto chiara. Per il seguito mi servirà
Definizione: Sia $V(K)$ spazio vettoriale sul campo $K$ e $S$ sistema di vettori, diremo che
1) $S$ sistema linearmente indipendente massimale $<=> ^(def.)$ $S$ linearmente indipendente e non è incluso propriamente in alcun sistema linearmente indipendente.
2) $S$ sistema di generatori minimale $<=>^(def.)$ non contiene propriamente alcun sistema di generatori di $V. $
Osservazioni: Sia $S={u_1, u_2, ...., u_k}$ sistema di vettori di $V$.
a) $S$ sistema costituito da più di un vettore è linearmente dipendente se, e solo se, almeno un vettore di $S$ dipende linearmente dai rimanenti.
b) $S$ è linearmente dipendente, di ordine $k>1$, e una sua parte $S'$ di ordine $k-1$ è linearmente indipendente, il vettore di $S$ che non appartiene a $S'$ dipende linearmente da $S'$.
Proposizione: Sia $S$ un sistema di vettori di $V$
1) $S$ è una base di $V$ se, e solo se, $S$ è un sistema linearmente indipendente massimale.
2) $S$ è una base di $V$ se, e solo se, $S$ è un sistema di generatori minimale.
Vi riporto la 1) e specifico i punti che non mi sono molto chiari.
$rightarrow$ Devo provare solo la massimalità.
Dall'ipotesi segue che $S$ è un sistema di generatori per $V$, dunque $forall u in V to u in.$
Allora $Scup{u}$ è linearmente dipendente, quindi $S$ è linearmente indipendente massimale.
$leftarrow$ Devo provare che $S$ è una base.
Dall'ipotesi di massimalità, segue $forall u in S to S cup {u}$ è linearmente dipendente, e essendo $S$ indipendente, il vettore $u$ deve dipendere da $S$, questo è vero per la b) cioè $u in. $
La prima domanda che mi sono fatto, perché nell'implicazione $rightarrow$, $S cup {u} $ deve essere linearmente dipendente, la risposta l'ho trovata in a), infatti i vettori rimanente sono quelli di $S$.
Invece, la seconda domanda perché nell'implicazione $leftarrow$ si sta provando solo l'inclusione $Vsubseteq$, perché l'altra no?
Semplicemente perché l'altra è banale essendo $Ssubseteq V to subseteq \ =V$
Ciao.
Definizione: Sia $V(K)$ spazio vettoriale sul campo $K$ e $S$ sistema di vettori, diremo che
1) $S$ sistema linearmente indipendente massimale $<=> ^(def.)$ $S$ linearmente indipendente e non è incluso propriamente in alcun sistema linearmente indipendente.
2) $S$ sistema di generatori minimale $<=>^(def.)$ non contiene propriamente alcun sistema di generatori di $V. $
Osservazioni: Sia $S={u_1, u_2, ...., u_k}$ sistema di vettori di $V$.
a) $S$ sistema costituito da più di un vettore è linearmente dipendente se, e solo se, almeno un vettore di $S$ dipende linearmente dai rimanenti.
b) $S$ è linearmente dipendente, di ordine $k>1$, e una sua parte $S'$ di ordine $k-1$ è linearmente indipendente, il vettore di $S$ che non appartiene a $S'$ dipende linearmente da $S'$.
Proposizione: Sia $S$ un sistema di vettori di $V$
1) $S$ è una base di $V$ se, e solo se, $S$ è un sistema linearmente indipendente massimale.
2) $S$ è una base di $V$ se, e solo se, $S$ è un sistema di generatori minimale.
Vi riporto la 1) e specifico i punti che non mi sono molto chiari.
$rightarrow$ Devo provare solo la massimalità.
Dall'ipotesi segue che $S$ è un sistema di generatori per $V$, dunque $forall u in V to u in
Allora $Scup{u}$ è linearmente dipendente, quindi $S$ è linearmente indipendente massimale.
$leftarrow$ Devo provare che $S$ è una base.
Dall'ipotesi di massimalità, segue $forall u in S to S cup {u}$ è linearmente dipendente, e essendo $S$ indipendente, il vettore $u$ deve dipendere da $S$, questo è vero per la b) cioè $u in
La prima domanda che mi sono fatto, perché nell'implicazione $rightarrow$, $S cup {u} $ deve essere linearmente dipendente, la risposta l'ho trovata in a), infatti i vettori rimanente sono quelli di $S$.
Invece, la seconda domanda perché nell'implicazione $leftarrow$ si sta provando solo l'inclusione $Vsubseteq
Semplicemente perché l'altra è banale essendo $Ssubseteq V to
Ciao.
Risposte
Mi sembra tu abbia prodotto da te la risposta a queste domande.
"megas_archon":L'insicurezza !
Mi sembra tu abbia prodotto da te la risposta a queste domande.
Riporto la 2)
$ rightarrow $
Sia $S$ base di $V$, dunque $S$ è un sistema di generatori di $V$.
P.A. $S$ contenesse propriamente un sistema di generatori $S'$ di $V$, cioè $S'subsetS$ con $
In tal caso considero $u in S-S'$ cioè $u in S, u notinS'.$
Essendo $S'$ un sistema di generatori di $V$, implica che il vettore $u$ dipenderebbe da $S'$ e il sistema $S'cup{u}$ è linearmente dipendente (cfr. (a)).
Quindi si ha $S'cup{u} subseteq S$, assurdo essendo $S$ linearmente indipendente.
$ leftarrow $
Sia $S$ sistema di generatori minimale di $V$. $S$ non può non essere linearmente indipendente.
Infatti, P.A. fosse linearmente dipendente, allora esisterebbe un vettore $u$ in $S$ che dipenderebbe dai rimanenti vettori di $S$.
Dunque $u$ è combinazione lineare dei vettori del sistema $Scup{u}$, ossia $u in
Quindi $Scup{u}$ è ancora un sistema di generatori di $V$.
Assurdo, essendo $S$ un sistema di generatori minimale.
Comunque grazie per l'aiuto !
Riguardo a \(\rightarrow\), la dimostrazione è corretta anche se un po' prolissa.
La seconda ha invece qualcosa che non va, ma penso sia solo un errore di scrittura: hai scritto \(S\cup \{u\}\) invece che \(S-\{u\}\) (o \(S\setminus\{u\}\) a seconda della notazione che usi). Insomma, \(S\cup \{u\} = S\).
La seconda ha invece qualcosa che non va, ma penso sia solo un errore di scrittura: hai scritto \(S\cup \{u\}\) invece che \(S-\{u\}\) (o \(S\setminus\{u\}\) a seconda della notazione che usi). Insomma, \(S\cup \{u\} = S\).
"vict85":Alcune cose le aggiungo io
Riguardo a \(\rightarrow\), la dimostrazione è corretta anche se un po' prolissa.
"vict85":Si esattamente è un errore di battitura. Grazie per l'osservazione !
La seconda ha invece qualcosa che non va, ma penso sia solo un errore di scrittura: hai scritto \( S\cup \{u\} \) invece che \( S-\{u\} \) (o \( S\setminus\{u\} \) a seconda della notazione che usi). Insomma, \( S\cup \{u\} = S \).
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