Capire se una forma bilineare è definita positiva

[antofilo-votailprof]

Avrei bisogno di un aiuto.
Devo verificare se una forma bilineare è un prodotto scalare su $R^3$.
Vorrei utilizzare questa via, ossia la definizione stessa di prodotto scalare.
Def. Una forma bilineare $g$ è un prodotto scalare se e solo se sono verificate contemporaneamente queste condizioni:
- $g$ $in$ $B_s$ $($ $R^3$ $)$
- $g$ è definita positiva

Vorrei soffermarmi sull'ultimo punto.
Il metodo che mi viene più naturale per capire se $g$ è definita positiva è usare il Criterio di Sylvester, ossia andare a controllare se tutti i minori principali della matrice associata a $g$ sono positivi.
Mi potreste dare altri metodi (più lunghi, più corti, non importa)?
Un'altro dovrebbe essere, se non mi sbaglio, andare a calcolare gli autovalori e vedere se sono tutti positivi
Poi dovrebbe esserci l'applicazione del Teorema di Sylvester, ma non saprei proprio come fare.

Aspettando un vostro aiuto,
Grazie

[pigrecoedition]

Per verificare se una forma bilineare è definita positiva basta osservare che gli autovalori della matrice associata sono tutti positivi.

[antofilo-votailprof]

Si, grazie della risposta.
Io vorrei sapere tutti i possibili modi e magari aiutarmi a capire l'applicazione del teorema di Sylvester

[dissonance]

Il criterio di Sylvester è molto più veloce del calcolo degli autovalori, è per quello che è così famoso. Per una matrice 3x3, l'unico calcolo lungo di Sylvester è il calcolo del determinante 3x3.

Per gli autovalori, solo per trovare l'equazione caratteristica occorre calcolare un determinante 3x3, e poi tocca risolvere una equazione cubica, e determinare il segno delle soluzioni.

Ci sono altri metodi, ce ne sono parecchi, in algebra lineare determinare se una matrice simmetrica è positiva è molto importante, ma per il momento ti basta conoscere questi.