Capire se un Sistema di vettori è un sistema di generatori?

[mattiadelfranco]

Salve ragazzi,
sto preparando l'esame di Algebra e Geometria (sono alla facoltà di Ingegneria) ho un piccolo dubbio riguardo ai sistemi di generatori.

In pratica dal nostro professore un sistema di generatori ci è stato definito come un particolare Sistema di vettori la cui chiusura lineare genera tutto lo spazio vettoriale in cui il sistema è definito.

Adesso, però, in un esercizio, mi viene dato un sistema di 4 vettori definito in R^3, che è il seguente:

S = {(1,0,1) , (0,-1,0) , (0,1,1) , (0, 2, -2)}

A questo punto mi viene chiesto in primo luogo di verificare se esso è linearmente dipendente o indipendente, in questo caso ho risposto che esso è dipendente in quanto |S|>n (ossia l'ordine dell'insieme è maggiore del grado dello spazio vettoriale R^3) e poi di verificare se esso è un sistema di generatori.

Io ho proceduto facendomi dunque la chiusura lineare L(S) ed ho ritrovato il seguente insieme:

L(S) = { (a, -b+c+d, a+c-2d) : a, b, c, d variano in R}

Come faccio a capire ora se questa chiusura lineare mi genera tutto lo spazio vettoriale R^3?

Vi ringrazio anticipatamente dell'aiuto!

[cooper1]

io per verificare che un insieme di vettori è un sistema di generatori o meno, dispongo i vettori come colonne di una matrice e ne calcolo il rango, se è massimo allora sono dei generatori.