Capire qual e' la molteplicita' geometrica di un autovettore
Salve a tutti il mio problema e' semplice: non riesco a capire come possa un autovettore come ad esempio questo v=t(0,0,1) ad avere molteplicita' geometrica=1.
Ho capito e forse mi sbaglio, che la molteplicita' geometrica e' la dimensione dell'autovettore; ma la dimensione di un vettore di R^3 non e' proprio 3?
Infatti una base di R^3 sono i vettori canonici..e ne servono 3 per fare una base...cosa sbaglio nel ragionamento?
Ho sbagliato qualche definizione?
Grazie a tutti per l'attenzione
PS questo sito e' troppo awerr
Ho capito e forse mi sbaglio, che la molteplicita' geometrica e' la dimensione dell'autovettore; ma la dimensione di un vettore di R^3 non e' proprio 3?
Infatti una base di R^3 sono i vettori canonici..e ne servono 3 per fare una base...cosa sbaglio nel ragionamento?
Ho sbagliato qualche definizione?
Grazie a tutti per l'attenzione
PS questo sito e' troppo awerr
Risposte
[mod="Paolo90"]Sposto in Geometria e Algebra lineare. Next time, occhio alla sezione please. [/mod]
"daniele515":
Ho capito e forse mi sbaglio, che la molteplicita' geometrica e' la dimensione dell'autovettore
E infatti ti sbagli
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio corrispondente.Tieni conto che non si può parlare di dimensione di un vettore. Semplicemente non ha senso.
Se vai a riguardare la definizione di dimensione troverai che si parla di dimensione di uno spazio vettoriale, non di un vettore!
L'ho riletta...quindi l'autospazio sarebbe il sottospazio vettoriale generato dell'autovettore...cioe' nell'esempio di v=t(0,0,1) l'autospazio e' formato da tutti quei vettori ottenuti facendo variare t infinite volte...ed e' per questo che la sua dimensione e' 1..proprio perche' il vettore v da solo e' una base..quindi dimensione 1=molteplicita' geometrica giusto??
Diciamolo meglio:
Se in qualche modo hai stabilito che l'autospazio è formato da tutti i vettori $v$ nella forma $v=t(0,0,1)$, allora hai che la dimensione dell'autospazio è 1, perchè una sua base è formata dal solo vettore $(0,0,1)$.
Perciò la molteplicità geometrica dell'autovalore in questione è 1.
"daniele515":L'autospazio corrispondente ad un autovalore è l'insieme di tutti gli autovettori.
...quindi l'autospazio sarebbe il sottospazio vettoriale generato dell'autovettore...
"daniele515":Dire che l'autovalore ha molteplicità geometrica 1 significa che l'autospazio corrispondente ha dimensione 1.
cioe' nell'esempio di v=t(0,0,1) l'autospazio e' formato da tutti quei vettori ottenuti facendo variare t infinite volte...ed e' per questo che la sua dimensione e' 1..proprio perche' il vettore v da solo e' una base
Se in qualche modo hai stabilito che l'autospazio è formato da tutti i vettori $v$ nella forma $v=t(0,0,1)$, allora hai che la dimensione dell'autospazio è 1, perchè una sua base è formata dal solo vettore $(0,0,1)$.
Perciò la molteplicità geometrica dell'autovalore in questione è 1.
"daniele515":Vabbè non so se volevi dire quello che ho scritto prima, visto che questa frase non è molto comprensibile.
quindi dimensione 1=molteplicita' geometrica giusto??
Grande cirasa!! grazie mille...non sono esperto di forum ma se c'e' qualche metodo per mettere in evidenza questa risposta fatelo perche' cercando in internet non si trova niente che spieghi bene questa molteplicita' geometrica...ciaoo
Scusate, ne avrete parlato un miliardo di volte, ma io non riesco a capire perché:
- la molteplicità geometrica di un autovettore è minore di quella algebrica [edit: ANCORA NON TROVATO]
- se le due molteplicità coincidono, la matrice è diagonalizzabile [edit: RISOLTO]
Una volta avevo ascoltato una lezione su questo fatto e la prof, prima di dimostrarlo, l'aveva pure reso intuitivamente chiaro. Ma ora non ricordo
La cosa assurda è che per un teorema così famoso sono ore che giro in internet e ancora non ho risolto... Qualcuno ha un link illuminante?
p.s.: io è Jordan non ci siamo ancora conosciuti, non so se questo è necessario per la dimostrazione
- la molteplicità geometrica di un autovettore è minore di quella algebrica [edit: ANCORA NON TROVATO]
- se le due molteplicità coincidono, la matrice è diagonalizzabile [edit: RISOLTO]
Una volta avevo ascoltato una lezione su questo fatto e la prof, prima di dimostrarlo, l'aveva pure reso intuitivamente chiaro. Ma ora non ricordo
La cosa assurda è che per un teorema così famoso sono ore che giro in internet e ancora non ho risolto... Qualcuno ha un link illuminante?
p.s.: io è Jordan non ci siamo ancora conosciuti, non so se questo è necessario per la dimostrazione
faccio per tutti voi, questo esercizio che è stato svolto dal mio esercitatore
sia la seguente matrice $ A=( ( -5 , 2 , 3 ),( 1 , -4 , 3 ),( 1 , 2 , -3 ) ) $
bisogna trovare gli autovalori e i relativi autospazi e stabilire se A è diagonalizzabile.
(ometto un po' di calcoli) toviamo i seguenti autovalori $ \lambda_1=0\vee \lambda_(2,3)=-6 $
da notare che l'autovalore $-6$ ha molteplicità algebrica 2, mentre l'autovalore $0$ ha molteplicità algebrica 1
Calcoliamoci ora l'autospazio, che si calcola così $ V_(\lambda_0)= Ker(A-\lambda_0 I_n) $
calcoliamo
$V_0 =Ker(A)\to ( ( -5 , 2 , 3 ),( 1 , -4 , 3 ),( 1 , 2 , -3 ) ) \to$ riducendo con Gauss si trova $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ ,
ha rango 2, quindi $dim V_0 = 3-2=1$ e $V_0= span{((1),(1),(1))}$
ora calcoliamo l'autospazio relativo all'autovalore $-6$
$V_(-6)=Ker(A+6 I_3)\to $ $ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 2 , 3 ) )\to ( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi $dim V_(-6)=3-1=2$
Quindi la matrice è diagonalizzabile, poichè la molteplicità algebrica e geometrica di tutti gli autovalori, concidono!
sia la seguente matrice $ A=( ( -5 , 2 , 3 ),( 1 , -4 , 3 ),( 1 , 2 , -3 ) ) $
bisogna trovare gli autovalori e i relativi autospazi e stabilire se A è diagonalizzabile.
(ometto un po' di calcoli) toviamo i seguenti autovalori $ \lambda_1=0\vee \lambda_(2,3)=-6 $
da notare che l'autovalore $-6$ ha molteplicità algebrica 2, mentre l'autovalore $0$ ha molteplicità algebrica 1
Calcoliamoci ora l'autospazio, che si calcola così $ V_(\lambda_0)= Ker(A-\lambda_0 I_n) $
calcoliamo
$V_0 =Ker(A)\to ( ( -5 , 2 , 3 ),( 1 , -4 , 3 ),( 1 , 2 , -3 ) ) \to$ riducendo con Gauss si trova $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ ,
ha rango 2, quindi $dim V_0 = 3-2=1$ e $V_0= span{((1),(1),(1))}$
ora calcoliamo l'autospazio relativo all'autovalore $-6$
$V_(-6)=Ker(A+6 I_3)\to $ $ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 2 , 3 ) )\to ( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi $dim V_(-6)=3-1=2$
Quindi la matrice è diagonalizzabile, poichè la molteplicità algebrica e geometrica di tutti gli autovalori, concidono!
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