Caos sullo "spazio in cui viviamo".
Una cosa che mi fa impazzire letteralmente.
Io so che l'insieme dei vettori geometrici applicati in un punto O rappresenta un sottospazio vettoriale dello spazio dei vettori geometrici intesi in senso generale.
Poi so dell'esistenza dello spazio S (definito "solennemente" come "spazio ordinario"), che non so per la verità, ben inquadrare.
E' lo spazio dei punti dello spazio in cui viviamo? O è un insieme di vettori, di linee (qui vedo i vettori nel loro senso geometrico, perché la corrispondenza con $RR^3$ viene in un secondo momento)?
Mi viene dimostrato che lo spazio S (che non so nemmeno cosa sia) non sia un sottospazio. Per dare una qualche identificazione a quei punti, viene istituito un sistema di riferimento, in particolare un' origine. Il fatto che S non sia un sottospazio mi viene dimostrato considerando due vettori applicati in O (l'origine) e la loro differenza, che non è un vettore applicato in O. Facendo questo ragionamento, allora, nemmeno l'insieme dei vettori applicati in O sarebbe più un sottospazio.
Chi mi aiuta? Come arriverò agli "spazi e sottospazi affini", se non riuscirò a capire queste cose, se non riesco a capire chi, cosa "è un isomorfismo", chi sia in corrispondenza con $RR^3$ ?
Io so che l'insieme dei vettori geometrici applicati in un punto O rappresenta un sottospazio vettoriale dello spazio dei vettori geometrici intesi in senso generale.
Poi so dell'esistenza dello spazio S (definito "solennemente" come "spazio ordinario"), che non so per la verità, ben inquadrare.
E' lo spazio dei punti dello spazio in cui viviamo? O è un insieme di vettori, di linee (qui vedo i vettori nel loro senso geometrico, perché la corrispondenza con $RR^3$ viene in un secondo momento)?
Mi viene dimostrato che lo spazio S (che non so nemmeno cosa sia) non sia un sottospazio. Per dare una qualche identificazione a quei punti, viene istituito un sistema di riferimento, in particolare un' origine. Il fatto che S non sia un sottospazio mi viene dimostrato considerando due vettori applicati in O (l'origine) e la loro differenza, che non è un vettore applicato in O. Facendo questo ragionamento, allora, nemmeno l'insieme dei vettori applicati in O sarebbe più un sottospazio.
Chi mi aiuta? Come arriverò agli "spazi e sottospazi affini", se non riuscirò a capire queste cose, se non riesco a capire chi, cosa "è un isomorfismo", chi sia in corrispondenza con $RR^3$ ?
Risposte
Al livello cui sono io, e cui sono costretto a rimanere dalla barbarie della laurea triennale (il corso di geometria, affascinante come pochi, dev' essere trattato in poche ore, almeno a ingegneria, perché non è vero che solo studiando a matematica io possa imparare certe cose in un certo modo), io so le seguenti cose:
Lo spazio ordinario $S$ è un insieme di punti;
Esiste, ed è già definito, lo spazio vettoriale $V$ dei vettori applicati in O;
Esiste anche lo spazio vettoriale delle ennuple, in particolare delle terne, $RR^3$;
Scelto un riferimento per $S$, ottengo in effetti il sottospazio $V$. Tra $V$ e $RR^3$ esiste un isomorfismo che ad ogni vettore applicato in O associa una terna di numeri (considerando il vettore nullo come "coincidente" con il punto O, ossia avente in O punto di applicazione e punto libero).
$S$ di per sè, però, ossia considerato come l'insieme dei punti dello spazio in cui viviamo privato di un sistema di riferimento (e quindi di un punto "privilegiato" rispetto ad altri), non è un sottospazio vettoriale. Questo perché se si definisce la differenza di due vettori applicati in O come un vettore che va dalla punta del sottraendo a quella del minuendo, non ottengo un vettore applicato in O, quindi S non è un sottospazio. Senza essere troppo "rigoroso" (la parte delle definizioni l'abbiamo dovuta saltare in blocco), ci sono quindi degli "enti geometrici" che ci consentono di offrire un controesempio al fatto che S sia uno spazio vettoriale. Lo è solo se in corrispondenza biunivoca con $V_0$ (a quel punto applico l'algebra lineare a S poiché $V_0$ e $RR^3$ sono isomorfi).
Esistono a tal punto la seguente funzione "composta":
$f : S \to V_0 \to RR^3$,che però non ci consente di scrivere, senza fissare un punto privilegiato (l'origine di un sistema di riferimento):
$f : S \to RR^3$
Chiedo: è giusto quanto scrivo adesso?
Sugli altri concetti ho bisogno di lavorare ancora un po' su. Mi metto mano mano a chiedere conferme, perchè il livello cui siamo stati costretti a lavorare, per la stessa ammissione del mio professore, non è massimo.
Lo spazio ordinario $S$ è un insieme di punti;
Esiste, ed è già definito, lo spazio vettoriale $V$ dei vettori applicati in O;
Esiste anche lo spazio vettoriale delle ennuple, in particolare delle terne, $RR^3$;
Scelto un riferimento per $S$, ottengo in effetti il sottospazio $V$. Tra $V$ e $RR^3$ esiste un isomorfismo che ad ogni vettore applicato in O associa una terna di numeri (considerando il vettore nullo come "coincidente" con il punto O, ossia avente in O punto di applicazione e punto libero).
$S$ di per sè, però, ossia considerato come l'insieme dei punti dello spazio in cui viviamo privato di un sistema di riferimento (e quindi di un punto "privilegiato" rispetto ad altri), non è un sottospazio vettoriale. Questo perché se si definisce la differenza di due vettori applicati in O come un vettore che va dalla punta del sottraendo a quella del minuendo, non ottengo un vettore applicato in O, quindi S non è un sottospazio. Senza essere troppo "rigoroso" (la parte delle definizioni l'abbiamo dovuta saltare in blocco), ci sono quindi degli "enti geometrici" che ci consentono di offrire un controesempio al fatto che S sia uno spazio vettoriale. Lo è solo se in corrispondenza biunivoca con $V_0$ (a quel punto applico l'algebra lineare a S poiché $V_0$ e $RR^3$ sono isomorfi).
Esistono a tal punto la seguente funzione "composta":
$f : S \to V_0 \to RR^3$,che però non ci consente di scrivere, senza fissare un punto privilegiato (l'origine di un sistema di riferimento):
$f : S \to RR^3$
Chiedo: è giusto quanto scrivo adesso?
Sugli altri concetti ho bisogno di lavorare ancora un po' su. Mi metto mano mano a chiedere conferme, perchè il livello cui siamo stati costretti a lavorare, per la stessa ammissione del mio professore, non è massimo.
Scusate l'intrusione...
Apparte i complimenti per la spiegazione di Sergio, che è stata davvero interessante e chiara, vorrei chiedere a quest'ultimo se le cose che si studiano nel corso di geometria I (facoltà di matematica, triennale) nei corsi successivi si incontrano e si approfondiscono? Oppure si lasciano li, tipo per affrontarli poi per la specialistica?
A me interesserebbe capire se l'aspetto anche storiografico lo si studia all'uni, oppure è un qualcosa che si approfondisce privatamente?
Apparte i complimenti per la spiegazione di Sergio, che è stata davvero interessante e chiara, vorrei chiedere a quest'ultimo se le cose che si studiano nel corso di geometria I (facoltà di matematica, triennale) nei corsi successivi si incontrano e si approfondiscono? Oppure si lasciano li, tipo per affrontarli poi per la specialistica?
A me interesserebbe capire se l'aspetto anche storiografico lo si studia all'uni, oppure è un qualcosa che si approfondisce privatamente?
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