Campo vettoriali, Campo tangente, Spazio Tangente????
Sono entrata in confuzione con questi argomenti, perchè sono un po' troppo astratti per i miei gusti....
C'è qualcuno che mi sa spiegare bene cosa sono e quali sono le differenze?
Guardando qualche post vecchio ho capito che la parola "Campo" di "Campo vettoriale" non ha nulla a che vedere con il campo algebrico. Il campo vettoriale è una funzione che associa ad ogni punto un vettore dello spazio tangente avente estremo iniziale nel punto (o tangente nel punto???)
Il campo tangente può essere considerato come una generalizzazione all'n-esima dimensione del piano tangente ad una superficie?
E lo spazio tangente cos'è?
Tempo di avere le idee parecchio confuse...
C'è qualcuno che mi sa spiegare bene cosa sono e quali sono le differenze?
Guardando qualche post vecchio ho capito che la parola "Campo" di "Campo vettoriale" non ha nulla a che vedere con il campo algebrico. Il campo vettoriale è una funzione che associa ad ogni punto un vettore dello spazio tangente avente estremo iniziale nel punto (o tangente nel punto???)
Il campo tangente può essere considerato come una generalizzazione all'n-esima dimensione del piano tangente ad una superficie?
E lo spazio tangente cos'è?
Tempo di avere le idee parecchio confuse...
Risposte
Allora, questi sono concetti fondamentali di geometria differenziale, ma sono tre concetti essenzialmente diversi.
Se consideri una varietà liscia $n$-dimensionale $M$, allora possiamo definire un vettore tangente $X$ in un punto $p \in M$ come un'applicazione lineare $X: C^{\infty}(M) \to RR$ che soddisfa una regola di Leibniz:
$X(uv) = u(p)X(v) + v(p)X(u)$,
per ogni $u,v \in C^{\infty}(M) = \{ f: M \to RR | f$ è infinitamente differenziabile $\}$.
Si può dimostrare che l'insieme dei vettori tangenti al punto $p$ forma uno spazio vettoriale di dimensione $n$, che chiameremo $T_pM$, ossia lo spazio tangente di $M$ in $p$.
Naturalmente questa definizione è molto astratta e sembra non coincidere con la definizione normale di spazio tangente per curve o superfici liscie in $RR^3$ (o in $RR^2$). Però è dimostrato che esiste un isomorfismo tra queste due diverse definizioni, quindi puoi sempre identificare $X$ con un vettore tangente nelle definizioni che avrai sicuramente visto per curve o superfici in spazi semplici come $RR^2$ o $RR^3$. Detto questo, non so cosa tu intenda per campo tangente, forse intendi il fibrato tangente, che è semplicemente l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti in $M$:
$TM = \bigcup_{p \in M} T_p M$.
(per il caso di $S^1$, lo puoi visualizzare intuitivamente qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Fibrato_tangente). È come se ad ogni punto di $M$ ci incolli uno spazio vettoriale di dimensione $n$.
Detto anche questo, posso definire il concetto di campo vettoriale, che è una sezione di questo fibrato, ovvero una mappa
$X: M \to TM$
che associa ad ogni $p \in M$ un elemento $X(p) \in T_p M$. Il campo vettoriale viene detto liscio se tale mappa è liscia.
Chiaro?
Ti consiglio anche di guardare wikipedia, che sicuramente spiega molto meglio di me
Se consideri una varietà liscia $n$-dimensionale $M$, allora possiamo definire un vettore tangente $X$ in un punto $p \in M$ come un'applicazione lineare $X: C^{\infty}(M) \to RR$ che soddisfa una regola di Leibniz:
$X(uv) = u(p)X(v) + v(p)X(u)$,
per ogni $u,v \in C^{\infty}(M) = \{ f: M \to RR | f$ è infinitamente differenziabile $\}$.
Si può dimostrare che l'insieme dei vettori tangenti al punto $p$ forma uno spazio vettoriale di dimensione $n$, che chiameremo $T_pM$, ossia lo spazio tangente di $M$ in $p$.
Naturalmente questa definizione è molto astratta e sembra non coincidere con la definizione normale di spazio tangente per curve o superfici liscie in $RR^3$ (o in $RR^2$). Però è dimostrato che esiste un isomorfismo tra queste due diverse definizioni, quindi puoi sempre identificare $X$ con un vettore tangente nelle definizioni che avrai sicuramente visto per curve o superfici in spazi semplici come $RR^2$ o $RR^3$. Detto questo, non so cosa tu intenda per campo tangente, forse intendi il fibrato tangente, che è semplicemente l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti in $M$:
$TM = \bigcup_{p \in M} T_p M$.
(per il caso di $S^1$, lo puoi visualizzare intuitivamente qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Fibrato_tangente). È come se ad ogni punto di $M$ ci incolli uno spazio vettoriale di dimensione $n$.
Detto anche questo, posso definire il concetto di campo vettoriale, che è una sezione di questo fibrato, ovvero una mappa
$X: M \to TM$
che associa ad ogni $p \in M$ un elemento $X(p) \in T_p M$. Il campo vettoriale viene detto liscio se tale mappa è liscia.
Chiaro?
Ti consiglio anche di guardare wikipedia, che sicuramente spiega molto meglio di me
Ti ringrazio per la risposta.
Ho già consultato wikipedia, ma temo che mi manchi qualche concetto di base, perchè non riesco a capire queste definizioni...
per quanto riguarda il campo tangente io ho questa definizione:
sia $alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva differenziabile. Il campo tangente alla curva $alpha$ è il campo vettoriale $alpha'(t)=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)$ che ha come componenti le derivate prime delle funzioni che individuano la curva.
Forse sono io che sbaglio l'approccio: il fatto è che non riesco a capire graficamente cosa rappresentanto tutte queste cose...
Ho già consultato wikipedia, ma temo che mi manchi qualche concetto di base, perchè non riesco a capire queste definizioni...
per quanto riguarda il campo tangente io ho questa definizione:
sia $alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva differenziabile. Il campo tangente alla curva $alpha$ è il campo vettoriale $alpha'(t)=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)$ che ha come componenti le derivate prime delle funzioni che individuano la curva.
Forse sono io che sbaglio l'approccio: il fatto è che non riesco a capire graficamente cosa rappresentanto tutte queste cose...
Ah ok te lavori con le curve in $RR^3$, quindi puoi scordarti quello che ho detto prima, che sono cose troppo generali.
Per visualizzare cos'è esattamente un campo tangente, prendi una curva qualsiasi, ed immagina di attaccarci ad ogni punto un vettore tangente ad essa (che in questo caso è dato dalle derivate prime delle componenti). Io me lo immagino così. In fisica, puoi vedere questo campo di vettori sulla curva come la velocità istantanea (rappresentata come un vettore tangente) che ha un corpo seguendo la determinata curva.
Più chiaro ora?
Ma segui un corso di geometria differenziale?
Per visualizzare cos'è esattamente un campo tangente, prendi una curva qualsiasi, ed immagina di attaccarci ad ogni punto un vettore tangente ad essa (che in questo caso è dato dalle derivate prime delle componenti). Io me lo immagino così. In fisica, puoi vedere questo campo di vettori sulla curva come la velocità istantanea (rappresentata come un vettore tangente) che ha un corpo seguendo la determinata curva.
Più chiaro ora?
Ma segui un corso di geometria differenziale?
"manuxy84":
Ti ringrazio per la risposta.
Ho già consultato wikipedia, ma temo che mi manchi qualche concetto di base, perchè non riesco a capire queste definizioni...
per quanto riguarda il campo tangente io ho questa definizione:
sia $alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva differenziabile. Il campo tangente alla curva $alpha$ è il campo vettoriale $alpha'(t)=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)$ che ha come componenti le derivate prime delle funzioni che individuano la curva.
Forse sono io che sbaglio l'approccio: il fatto è che non riesco a capire graficamente cosa rappresentanto tutte queste cose...
$\alpha$ e' una curva nello spazio, che e' data mediante "un parametrizzazione" - puoi immaginare che $t$ sia un tempo e che $alpha(t)$ sia la posizione di un punto all'istante $t$.
$\alpha'(t)$ e' un vettore che rappresenta, come direzione la tangente alla curva nel punto $\alpha(t)$ e come modulo la velocita' che in quell'istante ha il punto.
EDIT - ho scritto contemporaneamente a pat87 (piu' o meno le stesse cose)
"pat87":
Naturalmente questa definizione è molto astratta e sembra non coincidere con la definizione normale di spazio tangente per curve o superfici liscie in $RR^3$ (o in $RR^2$).
Grazie ancora.
Ti spiacerebbe provare a chiarirmi meglio i 3 concetti in $RR^3$, forse mi sarebbe più utile a capire. Ho provato a cercare un po' per il web, ma non ho trovato un gran che...
Grazie.
Beh, per varietà $M$ immerse in $RR^n$ (ovvero curve in $RR^3$, superfici in $RR^3$, per esempio), lo spazio tangente di $M$ in $p$ è formato da tutti i vettori $\gamma'(0)$, al variare della curva $\gamma:(-\epsilon, \epsilon) \to M$ tali che $\gamma(0) = p$. Questa è la definizione classica.
In parole povere prendi una qualsiasi curva la cui immagine è in $M$ e passante per $p$ e la derivi in quel punto. Ottieni quindi un vettore tangente.
Ad esempio, considerando l'immagine della curva $\phi: t \to (t+1,0)$, che è una varietà di dimensione 1, e prendendo ad esempio il punto $\phi(0) = (1,0) = p$, puoi calcolare un vettore tangente in quel punto utilizzando la stessa curva che abbiamo usato per definire la varietà (ed in questo caso ottieni un vettore tangente di velocità istantanea):
$\phi'(0) = (1,0)$.
Mentre se consideri un'altra curva $\alpha: t \to (2t+1, 0)$, $\phi(0) = p$ ,anch'essa avente immagine in $M$, puoi calcolare il vettore tangente rispetto a questa curva
$\phi'(0) = (2,0)$.
Lo spazio tangente in questo caso è unidimensionale e formato dai vettori del tipo $(x,0)$, $x \in RR$, da cui si deduce che lo spazio tangente è isomorfo a $RR$.
Un campo vettoriale in $RR^n$ lo puoi vedere come un'applicazione $X:RR^n \to RR^n$ in questo modo: ad ogni punto di $x \in RR^n$ ci associ un vettore $X(x) \in RR^n$, cioè ad ogni punto della tua varietà $RR^n$ ci appiccichi un vettore del suo spazio tangente. Questo è in linea con la definizione più generale che ho dato.
In parole povere prendi una qualsiasi curva la cui immagine è in $M$ e passante per $p$ e la derivi in quel punto. Ottieni quindi un vettore tangente.
Ad esempio, considerando l'immagine della curva $\phi: t \to (t+1,0)$, che è una varietà di dimensione 1, e prendendo ad esempio il punto $\phi(0) = (1,0) = p$, puoi calcolare un vettore tangente in quel punto utilizzando la stessa curva che abbiamo usato per definire la varietà (ed in questo caso ottieni un vettore tangente di velocità istantanea):
$\phi'(0) = (1,0)$.
Mentre se consideri un'altra curva $\alpha: t \to (2t+1, 0)$, $\phi(0) = p$ ,anch'essa avente immagine in $M$, puoi calcolare il vettore tangente rispetto a questa curva
$\phi'(0) = (2,0)$.
Lo spazio tangente in questo caso è unidimensionale e formato dai vettori del tipo $(x,0)$, $x \in RR$, da cui si deduce che lo spazio tangente è isomorfo a $RR$.
Un campo vettoriale in $RR^n$ lo puoi vedere come un'applicazione $X:RR^n \to RR^n$ in questo modo: ad ogni punto di $x \in RR^n$ ci associ un vettore $X(x) \in RR^n$, cioè ad ogni punto della tua varietà $RR^n$ ci appiccichi un vettore del suo spazio tangente. Questo è in linea con la definizione più generale che ho dato.
Bene, ci rifletterò su.
Grazie mille ancora.
Grazie mille ancora.
Ragazzi io riuppo questa vecchia discussione perchè sto perdendo il lume della ragione.
Il mio prof ha definito il fibrato tangente a una varietà come l'insieme delle coppie $(p, x)$, dove $p\in M, x\in \mathbb{R}^n$, e lo spazio tangente a un punto $p_0$ di M come l'insieme delle coppie $(p_0,x)$ al variare di $x\in \mathbb{R^n}$.
Il problema è che questa definizione non sto riuscendo a trovarla in nessun testo, da nessuna parte! Trovo 10 definizione diverse di spazio tangente/vettore tangente/fibrato tangente, tutte diverse tra loro, e a prima vista non equivalenti, nel senso che sono oggetti proprio diversi!
In giro trovo scritto che un vettore tangente è una derivazione, ovvero un applicazione tra un intorno U di $p_0$ in R. Altrove trovo che un vettore tangente si identifica con una derivata direzionale, o con una direzione, oppure come curve...insomma, oggetti proprio diversi (perchè un applicazione è un oggetto diverso da una curva, e questo è a sua volta diverso da un oggetto del tipo $(p_0, x_0)$, dove $x_0$ è un vettore di $\mathbb{R}^n$. In altri testi quella che è una coppia invece è una tripletta, con dentro anche una relazione di equivalenza.
Il fatto è che il concetto di spazio tangente viene usato dappertutto nella teoria, in seguito, quindi la divergenza su un argomento così centrale porta a un incompatibilità smisurata tra i libri e quello che dice il prof!
Il mio prof ha definito il fibrato tangente a una varietà come l'insieme delle coppie $(p, x)$, dove $p\in M, x\in \mathbb{R}^n$, e lo spazio tangente a un punto $p_0$ di M come l'insieme delle coppie $(p_0,x)$ al variare di $x\in \mathbb{R^n}$.
Il problema è che questa definizione non sto riuscendo a trovarla in nessun testo, da nessuna parte! Trovo 10 definizione diverse di spazio tangente/vettore tangente/fibrato tangente, tutte diverse tra loro, e a prima vista non equivalenti, nel senso che sono oggetti proprio diversi!
In giro trovo scritto che un vettore tangente è una derivazione, ovvero un applicazione tra un intorno U di $p_0$ in R. Altrove trovo che un vettore tangente si identifica con una derivata direzionale, o con una direzione, oppure come curve...insomma, oggetti proprio diversi (perchè un applicazione è un oggetto diverso da una curva, e questo è a sua volta diverso da un oggetto del tipo $(p_0, x_0)$, dove $x_0$ è un vettore di $\mathbb{R}^n$. In altri testi quella che è una coppia invece è una tripletta, con dentro anche una relazione di equivalenza.
Il fatto è che il concetto di spazio tangente viene usato dappertutto nella teoria, in seguito, quindi la divergenza su un argomento così centrale porta a un incompatibilità smisurata tra i libri e quello che dice il prof!
Cosa chiedo qui? Due cose:
1). Farmi notare in qualche modo l' "equivalenza" tra le diverse definizioni di fibrato/spazio tangente.
2). C'è qualche testo che definisce il fibrato/spazio tangente come fa il mio prof?
1). Farmi notare in qualche modo l' "equivalenza" tra le diverse definizioni di fibrato/spazio tangente.
2). C'è qualche testo che definisce il fibrato/spazio tangente come fa il mio prof?
Sul libro di Spivak c'è un esplicito remark a riguardo: non importa come si definisca il fibrato tangente, si otterrà sempre la stessa cosa. C'è anche la dimostrazione in una appendice apposita che pero' lo stesso autore consiglia di non leggere! Io ho seguito molto volentieri il suo consiglio
E' la prima volta che in matematica ho trovato due oggetti ANATOMICAMENTE e STRUTTURALMENTE diversi ma chiamati con lo stesso nome. La cosa mi lascia veramente perplesso.
Dissonance qual è il libro che citi?
Dissonance qual è il libro che citi?
Ma no, si tratta solo di molte costruzioni diverse della stessa cosa. Pure i numeri reali sono così. Il libro che cito è "A comprehensive introduction to differential geometry" di Spivak, volume 1.
Anche io mi trovo davanti al mio primo esame di Geo Diff e devo dire che la parte più complessa della materia si trova, almeno inizialmente, nelle definizioni e nelle notazioni molto spesso astruse e un poco "troppo" formali.
I due oggetti non sono diversi affatto, anzi, è estremamente importante provarne l'equivalenza perchè apre molte porte sui concetti più profondi. L'apparente diversità consiste nel vedere una volta una varietà come un oggetto a se, una volta come oggetto immerso in $R^n$. Come poi si vede vi è un'equivalenza (per niente ovvia) tra questi due concetti, però il ragionare in maniera cosi diversa (con una teoria estrinseca ed una intrinseca sulle varietà) porta a definizioni APPARENTEMENTE totalmente diverse.
Teniamoci in contatto, dato che anche io, soprattutto nella parte "calcolosa" (gli esercizi) non ho avuto molto successo. Anche qui sul forum ne ho postato qualcuno ma quasi nessuno mi ha risposto. Quindi noi che stiamo affrontando questi pericolosi mondi aiutiamoci a vicenda portando le nostre rispettive scoperte.
è un mondo molto affascinante quello della geometria differenziale, ma accostarvisi è molto ostico.
Se posso permettermi un consiglio io inizierei con la teoria estrinseca, ossia vedere le varietà immerse, è la definizione più intiutiva. Poi solo dopo guardare quella intriseca e cominciare a fare calcolo.
Inutile dire che il mio professore ha fatto totalmente il contrario partendo dalle derivazioni ed i germi di funzione. Dovrebbe scrivere un libro su "come spaventare uno studente"
Buona fortuna
I due oggetti non sono diversi affatto, anzi, è estremamente importante provarne l'equivalenza perchè apre molte porte sui concetti più profondi. L'apparente diversità consiste nel vedere una volta una varietà come un oggetto a se, una volta come oggetto immerso in $R^n$. Come poi si vede vi è un'equivalenza (per niente ovvia) tra questi due concetti, però il ragionare in maniera cosi diversa (con una teoria estrinseca ed una intrinseca sulle varietà) porta a definizioni APPARENTEMENTE totalmente diverse.
Teniamoci in contatto, dato che anche io, soprattutto nella parte "calcolosa" (gli esercizi) non ho avuto molto successo. Anche qui sul forum ne ho postato qualcuno ma quasi nessuno mi ha risposto. Quindi noi che stiamo affrontando questi pericolosi mondi aiutiamoci a vicenda portando le nostre rispettive scoperte.
è un mondo molto affascinante quello della geometria differenziale, ma accostarvisi è molto ostico.
Se posso permettermi un consiglio io inizierei con la teoria estrinseca, ossia vedere le varietà immerse, è la definizione più intiutiva. Poi solo dopo guardare quella intriseca e cominciare a fare calcolo.
Inutile dire che il mio professore ha fatto totalmente il contrario partendo dalle derivazioni ed i germi di funzione. Dovrebbe scrivere un libro su "come spaventare uno studente"
Buona fortuna
lupo,
il mio skype
newton_1372
la mia mail
newton1372@gmail.com
Scrivimi ad ogni tua "scoperta"...io navigo in cattive acque.
Comunque il libro menzionato da Dissonance introduce lo spazio tangente come coppie (x,m) con x nella varietà, m in Rn, che è quello che cercavo.
Fantastico
il mio skype
newton_1372
la mia mail
newton1372@gmail.com
Scrivimi ad ogni tua "scoperta"...io navigo in cattive acque.
Comunque il libro menzionato da Dissonance introduce lo spazio tangente come coppie (x,m) con x nella varietà, m in Rn, che è quello che cercavo.
Fantastico
lupo,
il mio skype
newton_1372
la mia mail
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Scrivimi ad ogni tua "scoperta"...io navigo in cattive acque.
Comunque il libro menzionato da Dissonance introduce lo spazio tangente come coppie (x,m) con x nella varietà, m in Rn, che è quello che cercavo.
Fantastico
il mio skype
newton_1372
la mia mail
newton1372@gmail.com
Scrivimi ad ogni tua "scoperta"...io navigo in cattive acque.
Comunque il libro menzionato da Dissonance introduce lo spazio tangente come coppie (x,m) con x nella varietà, m in Rn, che è quello che cercavo.
Fantastico
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