Campo vettoriale sulla sfera
Sapete aiutarmi a trovare un campo vettoriale sella sfera con un solo punto singolare?
Grazie.
Platone
Grazie.
Platone
Risposte
Le coordinate stereografiche escludono un solo punto. E' questo che intendi per "punto singolare" ?
Io credo che Platone con punto singolare indichi punto critico di un campo vettoriale.
Saluti, Ermanno.
Saluti, Ermanno.
E' come dice leonardo.
Nessuno sa aiutarmi?
Platone
Nessuno sa aiutarmi?
Platone
Ritorno alla ... carica ... con la proiezione stereografica ...
Appoggio la sfera su un piano e dal polo $N$ eseguo la suddetta proiezione ottenendo sul piano per ogni punto $p$ della sfera (eccetto $N$ stesso) la coppia $(u,v)$.
Chiamo $x(u,v)$ la parametrizzazio nella sfera così ottenuta.
Si tratta di una parametrizzazione regolare della sfera meno $N$.
Costruisco i vettori tangenti $x_u$ e $x_v$.
Costruisco il campo vettoriale $w = c_1*x_u + c_2*x_v$ dove $c_1$ e $c_2$ sono costanti.
Il campo $w$ è definito su tutta la sfera eccetto che in $N$.
Per quel punto pungo per continuità $w = 0$.
La continuità mi è garantita dal fatto che le norme di $x_u$ e $x_v$ tendono a zero avvicinandomi a $N$.
Il campo $w$ è quindi singolare solo in $N$.
Salvo errori ed omissioni.
Appoggio la sfera su un piano e dal polo $N$ eseguo la suddetta proiezione ottenendo sul piano per ogni punto $p$ della sfera (eccetto $N$ stesso) la coppia $(u,v)$.
Chiamo $x(u,v)$ la parametrizzazio nella sfera così ottenuta.
Si tratta di una parametrizzazione regolare della sfera meno $N$.
Costruisco i vettori tangenti $x_u$ e $x_v$.
Costruisco il campo vettoriale $w = c_1*x_u + c_2*x_v$ dove $c_1$ e $c_2$ sono costanti.
Il campo $w$ è definito su tutta la sfera eccetto che in $N$.
Per quel punto pungo per continuità $w = 0$.
La continuità mi è garantita dal fatto che le norme di $x_u$ e $x_v$ tendono a zero avvicinandomi a $N$.
Il campo $w$ è quindi singolare solo in $N$.
Salvo errori ed omissioni.
Ma un campo vettoriale non è una parametrizzazione.
Data una superfive S, una campo vettoriale su S è una funzione X di classe C infinito da S in R^3 t.c. per ogni p appartenente a S, si ha che X(p) appartiene al piano tangente alla superfice nel punto p stesso.
Platone
Data una superfive S, una campo vettoriale su S è una funzione X di classe C infinito da S in R^3 t.c. per ogni p appartenente a S, si ha che X(p) appartiene al piano tangente alla superfice nel punto p stesso.
Platone
Infatti, $x_u$ e $x_v$ sono una base del piano tangente ...
Forse ho usato un simbolismo sconosciuto ... credendo fosse quello standard ...
Si tratta dei vettori che si ottengono derivando parzialmente il vettore $x$ rispetto a $u$ ed a $v$. Sono i vettori tangenti in $p$ alle curve coordinate passanti per $p$.
Forse ho usato un simbolismo sconosciuto ... credendo fosse quello standard ...
Si tratta dei vettori che si ottengono derivando parzialmente il vettore $x$ rispetto a $u$ ed a $v$. Sono i vettori tangenti in $p$ alle curve coordinate passanti per $p$.
@ arriama
Scusa se rispondo ora, ma ho avuta da fare.
Anzitutto se non riuscivo a seguirti e' perche' sul computer di casa non c'e' il programma che fa le leggere le formule, e cosi' tra tutti quei simboli di dollaro ho fatto confusione.
Ho provato a riscrive quello che mi hai detto e credo che funzioni.
Ad ogni modo su un libro oho trovato un campo gia' pronto, e per non rischiare (sul lavoro che ho consegnato stamattina) ho riportato quello. Ma grazie lo stesso.
Per la cronaca il campo e'
$X(x,y,z)=(-xy,1-y^2-z,y(1-z))$
Moltiplicandolo scalarmente per un generico punto (x,y,z) della sfera e usando la relazione $x^2+y^2+z^2=1$ si ricava che $<(x,y,z),X(x,y,z)> =o$, cioe' $X(p)$ appartiene sempre al piano tangnte di $S^2$ in $p$, e chiaramente si annulla solo nel punto $(0,0,1)$.
Scusa se rispondo ora, ma ho avuta da fare.
Anzitutto se non riuscivo a seguirti e' perche' sul computer di casa non c'e' il programma che fa le leggere le formule, e cosi' tra tutti quei simboli di dollaro ho fatto confusione.
Ho provato a riscrive quello che mi hai detto e credo che funzioni.
Ad ogni modo su un libro oho trovato un campo gia' pronto, e per non rischiare (sul lavoro che ho consegnato stamattina) ho riportato quello. Ma grazie lo stesso.
Per la cronaca il campo e'
$X(x,y,z)=(-xy,1-y^2-z,y(1-z))$
Moltiplicandolo scalarmente per un generico punto (x,y,z) della sfera e usando la relazione $x^2+y^2+z^2=1$ si ricava che $<(x,y,z),X(x,y,z)> =o$, cioe' $X(p)$ appartiene sempre al piano tangnte di $S^2$ in $p$, e chiaramente si annulla solo nel punto $(0,0,1)$.
Giusto Platone !!!
Mi permetto però una piccola "discussione" sulla cosa.
La soluzione che presenti può essere generalizzata nel seguente modo :
Si determini il campo vettoriale tangente $X$ per cui :
$X(x,y,z) = (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))$
$<(f,g,h),(x,y,z)> = 0$
$x^2+y^2+z^2 = 1$
con la condizione restrittiva che $X$ sia regolare e si annulli in un solo punto (condizioni non da poco ...).
Il problema è adesso ricavare dei casi particolari di $X$ e la cosa mi sembra assai problematica, infatti, la soluzione che riporti è molto "particolare". Penso che per ricavarla occorra molta "fantasia" matematica ed andare molto "per tentativi" ...
Scusa, ma il tutto non mi sembra molto "elegante" ...
Se invece si parte da una parametrizzazione, secondo me, si ha una visione più "geometrica" (essendo questo l'approccio tipico della geometria differenziale) del problema e si può controllare meglio i vettori di base del piano tangente (appunto $x_u$, $x_v$) con i quali si costruisce un campo vettoriale tangente il quale è definibile in generale come :
$w(u,v) = a(u,v)*x_u + b(u,v)*x_v$ .
Spero di avere fatto una "critica" corretta e soprattutto costruttiva ...
Che ne pensi/pensate ?
Ciao. Arrigo.
Mi permetto però una piccola "discussione" sulla cosa.
La soluzione che presenti può essere generalizzata nel seguente modo :
Si determini il campo vettoriale tangente $X$ per cui :
$X(x,y,z) = (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))$
$<(f,g,h),(x,y,z)> = 0$
$x^2+y^2+z^2 = 1$
con la condizione restrittiva che $X$ sia regolare e si annulli in un solo punto (condizioni non da poco ...).
Il problema è adesso ricavare dei casi particolari di $X$ e la cosa mi sembra assai problematica, infatti, la soluzione che riporti è molto "particolare". Penso che per ricavarla occorra molta "fantasia" matematica ed andare molto "per tentativi" ...
Scusa, ma il tutto non mi sembra molto "elegante" ...
Se invece si parte da una parametrizzazione, secondo me, si ha una visione più "geometrica" (essendo questo l'approccio tipico della geometria differenziale) del problema e si può controllare meglio i vettori di base del piano tangente (appunto $x_u$, $x_v$) con i quali si costruisce un campo vettoriale tangente il quale è definibile in generale come :
$w(u,v) = a(u,v)*x_u + b(u,v)*x_v$ .
Spero di avere fatto una "critica" corretta e soprattutto costruttiva ...
Che ne pensi/pensate ?
Ciao. Arrigo.
ps.
devo anche fare una doverosa autocritica !!!
La soluzione che ho proposto sopra (tramite le coordinate stereografiche) ha un punto debole ...
Se il problema iniziale non richiede la differenziabilità, la soluzione penso sia valida. Altrimenti no !!!
Se interessa, procedo a postare le considerazioni ulteriori che ho fatto.
devo anche fare una doverosa autocritica !!!
La soluzione che ho proposto sopra (tramite le coordinate stereografiche) ha un punto debole ...
Se il problema iniziale non richiede la differenziabilità, la soluzione penso sia valida. Altrimenti no !!!
Se interessa, procedo a postare le considerazioni ulteriori che ho fatto.
Ho trovato un bel teorema topologico di Poincaré con il quale si dimostra che su una sfera (e di conseguenza su tutte le superficie ad essa omeomorfe) non è possibile costruire campi vettoriali differenziabili senza punti singolari ...
Quindi, almeno un punto singolare c'è sempre per cui ... cercare un campo senza punti singolari è fatica sprecata ...
ps. ho ri-ri-pensato alla proiezione stereografica ... adesso sono convinto che con essa si possa costruire un campo vettoriale differenziabile con un solo punto singolare. L'idea è questa :
ps.2 acc. vengono ancora due punti singolari ... mi sa che abbandono l'idea ...
Quindi, almeno un punto singolare c'è sempre per cui ... cercare un campo senza punti singolari è fatica sprecata ...
ps. ho ri-ri-pensato alla proiezione stereografica ... adesso sono convinto che con essa si possa costruire un campo vettoriale differenziabile con un solo punto singolare. L'idea è questa :
ps.2 acc. vengono ancora due punti singolari ... mi sa che abbandono l'idea ...
Quel teorema e' anche detto teorema del parrucchiere, perche' puo' essere espresso con la seguente frase folkloristica: "la sfera non e' pettinabile". E' per questo che quando andiamo dal barbiere ci fa perforza o la riga da qualche parte o una chierica sulla nuca (il punto singolare).
Platone
Platone
eh eh ... questi parrucchieri ed affini ... già c'era l'antinomia del barbiere ...
Il teorema in questione, per chi non lo conoscesse già (io l'ho incontrato solo pochi giorni fa), afferma che :
la somma degli indici di un campo vettoriale differenziabile dotato di punti singolari isolati su una superfcie compatta eguaglia la caratteristica di Eulero-Poincaré della superficie medesima.
L'indice di un punto singolare è praticamente la variazione dell'angolo del vettore campo girando attorno al punto singolare.
La caratteristica di Eulero-Poincaré di una superficie è un numero che corrisponde a quanti triangoli, lati e relativi vertici, si possono disporre sulla superficie medesima ricoprendola. Questo numero è legato alla topologia della superficie. Per tutte le sfere vale 2 (è immediato ricavarlo), ma anche per tutte le superficie omeomorfe ad esse ...
Ecco allora che la somma degli indici dei punti singolari su una sfera è sempre 2. Da qui l'impossibilità di costrure un campo senza punti singolari (somma degli indici nulla).
Per un toro, la caratteristica di Eulero-Poincaré vale 0 per cui ci si potrebbe costruire sopra un campo senza punti singolari ...
Il teorema in questione, per chi non lo conoscesse già (io l'ho incontrato solo pochi giorni fa), afferma che :
la somma degli indici di un campo vettoriale differenziabile dotato di punti singolari isolati su una superfcie compatta eguaglia la caratteristica di Eulero-Poincaré della superficie medesima.
L'indice di un punto singolare è praticamente la variazione dell'angolo del vettore campo girando attorno al punto singolare.
La caratteristica di Eulero-Poincaré di una superficie è un numero che corrisponde a quanti triangoli, lati e relativi vertici, si possono disporre sulla superficie medesima ricoprendola. Questo numero è legato alla topologia della superficie. Per tutte le sfere vale 2 (è immediato ricavarlo), ma anche per tutte le superficie omeomorfe ad esse ...
Ecco allora che la somma degli indici dei punti singolari su una sfera è sempre 2. Da qui l'impossibilità di costrure un campo senza punti singolari (somma degli indici nulla).
Per un toro, la caratteristica di Eulero-Poincaré vale 0 per cui ci si potrebbe costruire sopra un campo senza punti singolari ...
E se uno volesse pettinare un cane sferico?
La prossima volta che vado dal barbiere gli faccio presente che è impossibilitato a pettinarmi per bene, citando tanto di Teorema. Anzi, mi studierò la dimostrazione, si sa mai che me la chieda...
Ma l'uomo non è omeomorfo ad una sfera...ha un buco di troppo, al massimo è omeomorfo ad un wc o ad un toro....
Tra l'altro pure il Toro è omeomorfo al toro....
Tra l'altro pure il Toro è omeomorfo al toro....
Non saprei sai... se siamo omemeorfi ad un toro o ad altro... quanti manici abbiamo?
Boh...forse bisogna contare il canale delle narici e il sistema digestivoo...non saprei ad occhio direi 3...
E' piu' complicato di quanto sembra mi sa, anche perche' le narici sono comunicanti internamente, e il canale finisce in bocca nella laringe.... comunque le sole aperture che abbiamo si possono elencare: naso (2), bocca (1),... le altre due ve le lascio immaginare. Va studiato dove queste finiscono.... e per una si ha che termina internamente, quindi e' una finta apertura....
Interessante ... potenza della topologia ...
Come si chiama una superficie che è una sfera con quattro buchi comunicanti fra loro e con l'esterno ?
Come si chiama una superficie che è una sfera con quattro buchi comunicanti fra loro e con l'esterno ?
Eh, bella domanda.... bisogna chiedere ad un topologo, ovvero colui per il quale una ciambella ed una tazza da caffè sono la stessa cosa...
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