Campo vettoriale su sfera (geometria differenziale)

[Ghio1]

Ho il seguente campo vettoriale: $Y(x,y,z)=(xy,yz,z^2-1)$, si può mostrare che è un campo $C^{\infty}$ su $S^2$. sulla sfera $S^2\subset R^3$ considero l'atlate $\{(U_1=S^2\\{N}, \phi_1),(U_2=S^2\\{S}, \phi_2)$ dove $\phi_1$ e$\phi_2$ sone le rispettive proiezioni stereografiche(le coordinate locali le chiamo $\{u,v\}$. Se voglio scrivere il campo come punto della varietà $TS^2$ posso fare così:
(vediamo rispetto alla proiezione stereografica dal polo Sud)
$\psi: TS^"\rightarrowR^4$ e si comporta così $(p,V)\rightarrow(u,v,(du)|_p (V),(dv)|_p(V))$
e per trovare le componenti del vettore usa questa idea:
$(du)|_p(V)=V(u)=(xy*\frac{\partial }{\partial x}+yz*\frac{\partial }{\partial y}+(z^2-1)* \frac{\partial }{\partial z}) (\frac{y}{1+z})$
e svolgere i calcoli... trovando $(du)|_p(V)=\frac{x(2z-1)}{z+1}$, stessa cosa la si può fare per $(dv)|_p(V)=\frac{y(2z-1)}{z+1}$ e il tutto si può ripetere per l'altra proiezione.

[Ghio1]

Questo mi sembra un metodo pratico per scrivere un campo vettoriale tangente a $S^2$ in due componenti rispetto alle basi sui $TpS^2$: $(\frac{\partial}{partial u}|_p$,$\frac{\partial}{\partial v}|_p)$, mi serve solo una conferma da parte di qualche cultore o professionista della Geometria Differenziale... Ho anche sfruttato la proprietà: $(df)|_p$$(V)=V|_p(f)$

[Ghio1]

Vorrei riproporre questa mia "vecchia" questione...