Campo di spezzamento
Calcolare il grado del campo di spezzamento di X^4 + X^2 +1 su F_5
Risposte
Generalmente quando ci sono polinomi di quarto grado come questo ti conviene ''completare il quadrato'', cioè aggiungere e togliere una quantità tale che ti faccia ''completare'' un quadrato di binomio e ti faccia avere una differenza di quadrati.
In questo caso aggiungi e togli $x^2$.
$X^4 + X^2 +1+x^2-x^2$=
$(x^2+1)^2-x^2$
ora ti viene una differenza di quadrati.
$(x^2+1+x)(x^2+1-x)$
Puoi vedere anche andando a tentativi che non ci sono soluzioni nel campo $F_5$ e quindi i due polinomi sono irriducibili.
Ora sai che il grado del campo di più polinomi , quando ci sono campi finiti, è = al massimo comune divisore del grado dei singoli polinomi. In questo caso è $2$.
Quindi il grado del campo di spezzamento del polinomio iniziale su $F_5$ è $2$.
p.s. compà sono marco.
p.p.s. se ho scritto qualche fregnaccia correggetemi.
In questo caso aggiungi e togli $x^2$.
$X^4 + X^2 +1+x^2-x^2$=
$(x^2+1)^2-x^2$
ora ti viene una differenza di quadrati.
$(x^2+1+x)(x^2+1-x)$
Puoi vedere anche andando a tentativi che non ci sono soluzioni nel campo $F_5$ e quindi i due polinomi sono irriducibili.
Ora sai che il grado del campo di più polinomi , quando ci sono campi finiti, è = al massimo comune divisore del grado dei singoli polinomi. In questo caso è $2$.
Quindi il grado del campo di spezzamento del polinomio iniziale su $F_5$ è $2$.
p.s. compà sono marco.
p.p.s. se ho scritto qualche fregnaccia correggetemi.
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