Campo completo

[flosfloris]

ragazzi perchè R è un campo completo e Q no???????????????????????

[Nebula2]

che R sia completo significa che una successione di cauchy contenuta in R ha limite in R.

ciò non vale in Q. prendi ad esempio la successione in cui l'n-simo elemento è radice di due troncato all'n-sima cifra decimale. questa successione sta in Q, è di cauchy ma non ha limite in Q dato che il suo limite (radice di due) è irrazionale.

[flosfloris]

"Nebula":che R sia completo significa che una successione di cauchy contenuta in R ha limite in R.

ciò non vale in Q. prendi ad esempio la successione in cui l'n-simo elemento è radice di due troncato all'n-sima cifra decimale. questa successione sta in Q, è di cauchy ma non ha limite in Q dato che il suo limite (radice di due) è irrazionale.

grazie per aver risposto ma nn ho capito bene
Io su un libro ho trovato "Χ={χεQ tale che x>0, x^2 <2 "
mentre Q non ammette sup...
è giusto???

[Nebula2]

sì, cambiano le parole ma è praticamente la stessa cosa.

[amel3]

Scusate la pignoleria...
Non è la stessa cosa, ma è equivalente.

Magari più tardi posto una spiegazione più dettagliata...
(Se qualcuno vuole farlo prima di me è ben accetto ovviamente...)

[Nebula2]

qual è la differenza tra "essere la stessa cosa" e "essere equivalente"?

[amel3]

"Nebula":una successione di cauchy contenuta in R ha limite in R.

Definizione 1. Uno spazio metrico $(X, d)$ si dice completo se ogni successione di Cauchy in $X$ converge in $X$.

$(QQ, d)$, ove $d$ è la distanza indotta da quella euclidea (cioè $d(x,y)=|x-y|, \ forall x,y in QQ$), non è completo.

"flosfloris":Io su un libro ho trovato "Χ={χεQ tale che x>0, x^2 <2 "
mentre Q non ammette sup...

Definizione 2. Un insieme ordinato $(X, <=)$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato è dotato di estremo superiore.

Quindi $(QQ, <=)$ non è completo.



Nel caso reale sicuramente le due definizioni sono equivalenti. Però sono due definizioni diverse.