Campi mai nulli e 1 distribuzioni
Ciao a tutti!
Vorrei capire qual'è la differenza tra una 1 distrubuzione e un campo vettoriale mai nullo. È ovvio che da un campo mai nullo posso trovare una 1 distribuzione, ma perché dovrebbe esistere una 1 distribuzione che non viene da un campo vettoriale mai nullo?
Qualcuno sa darmi un hint da cui partire? Grazie
Vorrei capire qual'è la differenza tra una 1 distrubuzione e un campo vettoriale mai nullo. È ovvio che da un campo mai nullo posso trovare una 1 distribuzione, ma perché dovrebbe esistere una 1 distribuzione che non viene da un campo vettoriale mai nullo?
Qualcuno sa darmi un hint da cui partire? Grazie
Risposte
"killing_buddha":
Aspetta, per te una distribuzione è https://en.wikipedia.org/wiki/Distribut ... l_geometry) questo?
Esatto
Per ogni punto \(p\) della varietà \(M\) su cui è definita la 1-distribuzione \(\Delta\), per definizione di distribuzione esiste un intorno aperto \(U\) di \(p\) e un campo vettoriale \(X\) definito su questo intorno tale che \(\Delta_q=\mathrm{span} X_q\) per
ogni \(q\in U\). In particolare, \(X_q\ne 0\).
A parole, localmente la distribuzione è data da campi vettoriali mai nulli. Ma nessuno ci garantisce che questi campi vettoriali si incollino bene. Per farti un esempio ritaglia una striscia di carta e costruisci un nastro di Möbius. Costruisci lì sopra una 1 distribuzione considerando linee verticali. Rifletti su quella e sul fatto che localmente puoi rappresentare le lineette verticali come generate da freccette di lunghezza non zero ma che se provi a incollare queste freccette esse dovranno cambiare bruscamente di direzione in un punto del nastro.
ogni \(q\in U\). In particolare, \(X_q\ne 0\).
A parole, localmente la distribuzione è data da campi vettoriali mai nulli. Ma nessuno ci garantisce che questi campi vettoriali si incollino bene. Per farti un esempio ritaglia una striscia di carta e costruisci un nastro di Möbius. Costruisci lì sopra una 1 distribuzione considerando linee verticali. Rifletti su quella e sul fatto che localmente puoi rappresentare le lineette verticali come generate da freccette di lunghezza non zero ma che se provi a incollare queste freccette esse dovranno cambiare bruscamente di direzione in un punto del nastro.
Ma qual è il motivo per cui si chiamano distribuzioni? C'è un legame tra queste e l'altra cosa che si chiama distribuzione (credo di no)?
Soprattutto: le distribuzioni (in senso analitico) \(\mathscr D(U)\) su un aperto \(U\subseteq \mathbb R^n\) (prendo $RR^n$ per semplificare, potrei prendere uno spazio piu generale) formano notoriamente un fascio, esiste un modo di associare un fascio (magari di spazi vettoriali?) ad una distribuzione (in senso differenziale)?
Soprattutto: le distribuzioni (in senso analitico) \(\mathscr D(U)\) su un aperto \(U\subseteq \mathbb R^n\) (prendo $RR^n$ per semplificare, potrei prendere uno spazio piu generale) formano notoriamente un fascio, esiste un modo di associare un fascio (magari di spazi vettoriali?) ad una distribuzione (in senso differenziale)?
"killing_buddha":
Ma qual è il motivo per cui si chiamano distribuzioni? C'è un legame tra queste e l'altra cosa che si chiama distribuzione (credo di no)?
Soprattutto: le distribuzioni (in senso analitico) \(\mathscr D(U)\) su un aperto \(U\subseteq \mathbb R^n\) (prendo $RR^n$ per semplificare, potrei prendere uno spazio piu generale) formano notoriamente un fascio, esiste un modo di associare un fascio (magari di spazi vettoriali?) ad una distribuzione (in senso differenziale)?
A mio avviso sono concetti totalmente scollegati, uniti solo dal fatto che "distribuzione" è un termine molto comune.
Quanto ai fasci, buh.
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