Campi, Autospazi e isomorfismi
Salve a tutti vi sottopongo un quesito evidentemente facile tanto che le mie dispense lo danno come assunto, ma che io non riesco a risolvere:
Si consideri $K$ campo algebricamente chiuso; consideriamo la matrice $A in K^(nxxn)$ e definiamo su essa il sottospazio $V_\lambda(A) in K^n$ tale che
$V_\lambda(A)=Ker(A-\lambda I)$ con $I$ la matrice identità e $\lambda in \sigma(A)$ (con $\sigma(A)$ indico lo spettro di $A$).
E fin qui direi che $V_\lambda(A)$ altro non è che lo spazio degli autovettori il cui autovalore è proprio $\lambda$. Ora sia
$V_\lambda^i (A)=Ker(A-\lambda I)^i$
Si osserva che $V_\lambda (A) sube V_\lambda^2 (A) sube V_\lambda^3 (A) sube ...$
E qui en passant il volume dice che una catena ascendenti di sottospazi è stazionaria e che quindi esiste un certo $p$ tale che $V_\lambda^p (A) = \uuu_{i=1}^\infty V_\lambda^i (A)$. Indichiamo questo particolare sottospazio come $V_\lambda^\infty (A) $.
Ma mi sorge un dubbio, come si fa a dire questo? Forse non mi ricordo di una vecchia osservazione di geometria o algebra?
Poi non contento altrettanto semplicisticamente dice $K^n ~ \sum_{\lambda in \sigma(A)}^. V_\lambda^\infty (A) $.
Il puntino sopra lo ho messo per indicare che è somma diretta.
Ed ecco il secondo dubbio, perchè questo isomorfismo? Io avevo visto che si può spezzare un anello dei polinomi quozientato con un polinomio monico su un campo algebricamente chiuso nella somma diretta dello stesso anello quozientato con ogni sua "pezzo" irriducibile. Ma questo bo...
Si consideri $K$ campo algebricamente chiuso; consideriamo la matrice $A in K^(nxxn)$ e definiamo su essa il sottospazio $V_\lambda(A) in K^n$ tale che
$V_\lambda(A)=Ker(A-\lambda I)$ con $I$ la matrice identità e $\lambda in \sigma(A)$ (con $\sigma(A)$ indico lo spettro di $A$).
E fin qui direi che $V_\lambda(A)$ altro non è che lo spazio degli autovettori il cui autovalore è proprio $\lambda$. Ora sia
$V_\lambda^i (A)=Ker(A-\lambda I)^i$
Si osserva che $V_\lambda (A) sube V_\lambda^2 (A) sube V_\lambda^3 (A) sube ...$
E qui en passant il volume dice che una catena ascendenti di sottospazi è stazionaria e che quindi esiste un certo $p$ tale che $V_\lambda^p (A) = \uuu_{i=1}^\infty V_\lambda^i (A)$. Indichiamo questo particolare sottospazio come $V_\lambda^\infty (A) $.
Ma mi sorge un dubbio, come si fa a dire questo? Forse non mi ricordo di una vecchia osservazione di geometria o algebra?
Poi non contento altrettanto semplicisticamente dice $K^n ~ \sum_{\lambda in \sigma(A)}^. V_\lambda^\infty (A) $.
Il puntino sopra lo ho messo per indicare che è somma diretta.
Ed ecco il secondo dubbio, perchè questo isomorfismo? Io avevo visto che si può spezzare un anello dei polinomi quozientato con un polinomio monico su un campo algebricamente chiuso nella somma diretta dello stesso anello quozientato con ogni sua "pezzo" irriducibile. Ma questo bo...
Risposte
Ciao 
Ti basta ragionare sulle dimensioni: siccome hai una catena di inclusioni, la dimensione di ogni sottospazio e' maggiore della dimensione del precedente (inclusione stretta) o uguale (coincidono). Ma tu stai in uno spazio di dimensione finita, che e' $K^n$, quindi le inclusioni strette non possono essere piu' di $n$ o sforeresti. Pertanto la catena da un certo punto in poi si stabilizza necessariamente. L'unione di tutti questi spazi coincide quindi con lo spazio che ottieni quando tutti si e' stabilizzato, visto che dopo un po' non aggiungi piu' nulla.
E' la teoria degli autospazi generalizzati. Sotto particolari condizioni hai che lo spazio di decompone in autospazi, nei casi non favorevoli devi accontentarti degli autospazi generalizzati, che sono proprio questi: $Ker(A-\lambda I)^n $.
Vedi pag 68 e 69 (spacialmente corollario 3.8.2) qua: http://www1.mat.uniroma1.it/people/troi ... f10-11.pdf
In particolare, e' proprio qua che ti serve che $K$ sia algebricamente chiuso, perche' la teoria degli autospazi generalizzati funziona con questa ipotesi. Ciao!
"Boxyes":
Si osserva che $V_\lambda (A) sube V_\lambda^2 (A) sube V_\lambda^3 (A) sube ...$
E qui en passant il volume dice che una catena ascendenti di sottospazi è stazionaria e che quindi esiste un certo $p$ tale che $V_\lambda^p (A) = \uuu_{i=1}^\infty V_\lambda^i (A)$. Indichiamo questo particolare sottospazio come $V_\lambda^\infty (A) $.
Ma mi sorge un dubbio, come si fa a dire questo? Forse non mi ricordo di una vecchia osservazione di geometria o algebra?
Ti basta ragionare sulle dimensioni: siccome hai una catena di inclusioni, la dimensione di ogni sottospazio e' maggiore della dimensione del precedente (inclusione stretta) o uguale (coincidono). Ma tu stai in uno spazio di dimensione finita, che e' $K^n$, quindi le inclusioni strette non possono essere piu' di $n$ o sforeresti. Pertanto la catena da un certo punto in poi si stabilizza necessariamente. L'unione di tutti questi spazi coincide quindi con lo spazio che ottieni quando tutti si e' stabilizzato, visto che dopo un po' non aggiungi piu' nulla.
"Boxyes":
Poi non contento altrettanto semplicisticamente dice $K^n ~ \sum_{\lambda in \sigma(A)}^. V_\lambda^\infty (A) $.
Il puntino sopra lo ho messo per indicare che è somma diretta.
Ed ecco il secondo dubbio, perchè questo isomorfismo?
E' la teoria degli autospazi generalizzati. Sotto particolari condizioni hai che lo spazio di decompone in autospazi, nei casi non favorevoli devi accontentarti degli autospazi generalizzati, che sono proprio questi: $Ker(A-\lambda I)^n $.
Vedi pag 68 e 69 (spacialmente corollario 3.8.2) qua: http://www1.mat.uniroma1.it/people/troi ... f10-11.pdf
In particolare, e' proprio qua che ti serve che $K$ sia algebricamente chiuso, perche' la teoria degli autospazi generalizzati funziona con questa ipotesi. Ciao!
Perfetto tutto chiaro. Grazie.
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