Cambio sistema di riferimento

[LUCIANO741]

Buongiorno a tutti, gradirei se possibile un chiarimento sui cambi di coordinate:

Supponiamo di passare dal sistema $(x,y,z,)$
al sistema di coordinate $(u,v,w)$
mediante la trasformazione lineare invertibile:

$x=x(3u−2v−w)$
$y=y(−u−v+2w)$
$z=z(u+3v−2w)$


In sostanza volevo capire il significato geometrico dei vettori $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$
rappresentati nel video: https://youtu.be/On4oeXnXTNA?list=LL (al min. 16:27 circa) in caso di trasformazione lineare come quella che ho descritto sopra.

Mi sembra di capire nel mio caso che ogni vettore $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$ giace su un piano descritto dalle equazioni $(3u−2v−w)$, $(−u−v+2w)$, $(u+3v−2w)$ ma non ne sono sicuro.



grazie molte a tutti per la pazienza !!!

[Noodles1]

"LUCIANO74":

$x=x(3u−2v−w)$

$y=y(−u−v+2w)$

$z=z(u+3v−2w)$

Immagino che tu intendessi scrivere:

$\{(x=3u−2v−w),(y=−u−v+2w),(z=u+3v−2w):}$

"LUCIANO74":
... che ogni vettore ... giace su un piano ...

Poichè un vettore giace univocamente su una retta, non su un piano, dovresti esporre il tuo dubbio diversamente.

[LUCIANO741]

grazie 1000 per la tua risposta mi sono spiegato malissimo, non sono un matematico putroppo ma semplice appassionato !!
Da quello che ho capito io i tre vettori che nel video sono chiamati $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$ appartengono ai tre assi/rette coordinati che a loro volta sono complanari ai tre piani $(3u-2v-w), (-u,-v+2w), (u+3v-2w)$ ?
grazie ancora !!

[Noodles1]

"LUCIANO74":
... ai tre piani ...

Premesso che, per assegnare un piano, è necessario scrivere un'equazione, immagino tu intendessi:

$3u−2v−w=0$

$−u−v+2w=0$

$u+3v−2w=0$

Ad ogni modo, ho l'impressione che tu stia facendo confusione tra i due sistemi di riferimento. Per esempio, poichè:

$[x=3u−2v−w] ^^ [x=0] rarr [3u−2v−w=0]$

$[y=-u−v+2w] ^^ [y=0] rarr [-u−v+2w=0]$

$[z=u+3v-2w] ^^ [z=0] rarr [u+3v-2w=0]$

le equazioni che probabilmente intendevi scrivere altro non sono che, rispettivamente, le equazioni dei piani:

$x=0$

$y=0$

$z=0$

rispetto al nuovo sistema di riferimento. Invece, le componenti dei tre vettori sottostanti:

$\{(x=3u−2v−w),(y=−u−v+2w),(z=u+3v−2w):} rarr$

$rarr (delr)/(delu)=[[3],[-1],[1]] ^^ (delr)/(delv)=[[-2],[-1],[3]] ^^ (delr)/(delw)=[[-1],[2],[-2]]$

sono espresse rispetto al vecchio sistema di riferimento. A questo punto immagino che tu intendessi ricavare le nuove coordinate in funzione delle vecchie:

$\{(u=u(x,y,z)),(v=v(x,y,z)),(w=w(x,y,z)):}$

e porre:

$u(x,y,z)=0$

$v(x,y,z)=0$

$w(x,y,z)=0$

[LUCIANO741]

ok, grazie molte ancora !!!