CAmbio di base
Sto ascoltando delle videolezioni:
Quando dice:
"Supponiamo di avere uno spazio vettoriale $X$, sia $x$ un generico vettore di questo.
Supponiamo adesso di voler cambiare base, sia $T$ la nuova base.
Possiamo scrivere $x=T*x'$, dove x' rappresenta ancora lo stesso vettore solo che ho cambiato la base,quindi le sue componenti sono
le componenti del medesimo elemento lungo la nuova base."
Il dubbio è banale quanto volete ma preferisco toglierlo.
$x'$ è il vettore delle coordinate rispetto alla nuova base per ottenere nuovamente $x$ della vecchia base?
Quando dice:
"Supponiamo di avere uno spazio vettoriale $X$, sia $x$ un generico vettore di questo.
Supponiamo adesso di voler cambiare base, sia $T$ la nuova base.
Possiamo scrivere $x=T*x'$, dove x' rappresenta ancora lo stesso vettore solo che ho cambiato la base,quindi le sue componenti sono
le componenti del medesimo elemento lungo la nuova base."
Il dubbio è banale quanto volete ma preferisco toglierlo.
$x'$ è il vettore delle coordinate rispetto alla nuova base per ottenere nuovamente $x$ della vecchia base?
Risposte
E' quello che intende ma le notazioni sono (secondo me) pessime.
O quantomeno dovrebbe spiegare meglio cosa intende con quelle notazioni.
$T$ è una base, ovvero un insieme di vettori con certe proprietà, cosa si intende per $x=T\cdot x'$?
Scritto più precisamente, se ho capito ciò che vuole dire, dovrebbe essere
In $X$ spazio vettoriale di dimensione $n$, sia $v$ un vettore.
Supponiamo di avere una base. Sia $x$ la $n$-upla della componenti di $v$ rispetto alla base $B$.
Scelta un'ulteriore base $B'$, sia $x'$ la $n$-upla della componenti di $v$ rispetto alla base $B'$.
Allora, se $T$ è la matrice di cambiamento di base fra la base $B$ e la base $B'$, si ha che $x=T\cdot x'$ (prodotto righe per colonne della matrice $T$ e la matrice colonna $x'$).
O quantomeno dovrebbe spiegare meglio cosa intende con quelle notazioni.
$T$ è una base, ovvero un insieme di vettori con certe proprietà, cosa si intende per $x=T\cdot x'$?
Scritto più precisamente, se ho capito ciò che vuole dire, dovrebbe essere
In $X$ spazio vettoriale di dimensione $n$, sia $v$ un vettore.
Supponiamo di avere una base. Sia $x$ la $n$-upla della componenti di $v$ rispetto alla base $B$.
Scelta un'ulteriore base $B'$, sia $x'$ la $n$-upla della componenti di $v$ rispetto alla base $B'$.
Allora, se $T$ è la matrice di cambiamento di base fra la base $B$ e la base $B'$, si ha che $x=T\cdot x'$ (prodotto righe per colonne della matrice $T$ e la matrice colonna $x'$).
In effetti sarebbe tutto più fluido se $T$ fosse la matrice di cambiamento di base.
Poi essendo non singolare allora può anche essere presa come base essendo le colonne tutte lineramente indipendendeti.
Il fatto è che se $T$ è la matrice di cambiamento di base ,allora $x=Tx'$ sta a signiicare che $x$ e $x'$ sono le coordinate rispetto alla base $B$ e $B'$,non le componenti del vettore?
Poi essendo non singolare allora può anche essere presa come base essendo le colonne tutte lineramente indipendendeti.
Il fatto è che se $T$ è la matrice di cambiamento di base ,allora $x=Tx'$ sta a signiicare che $x$ e $x'$ sono le coordinate rispetto alla base $B$ e $B'$,non le componenti del vettore?
"edge":
Poi essendo non singolare allora può anche essere presa come base essendo le colonne tutte lineramente indipendendeti.
Questo non è vero. Infatti $X$ è uno spazio vettoriale generico, non è detto che sia formato da $n$-uple di scalari.
Se per esempio $X$ fosse lo spazio dei polinomi di grado $<=2$, che senso avrebbe parlare di una terna di numeri come di un elemento di un vettore?
Come al solito, bisogna tenere ben chiara in mente la distinzione fra un vettore di $X$ e la $n$-upla delle sue componenti rispetto ad una base.
"edge":
Il fatto è che se $T$ è la matrice di cambiamento di base ,allora $x=Tx'$ sta a signiicare che $x$ e $x'$ sono le coordinate rispetto alla base $B$ e $B'$,non le componenti del vettore?
Non capisco, forse abbiamo due modi diversi di indicare gli oggetti.
Generalmente si parla di componenti di un vettore rispetto ad una base. Cosa sono le coordinate di un vettore? E che differenza c'è con le componenti?
Le coordinate di un vettore sono quei coefficenti che combinati alla base danno proprio il vettore stesso.
Almeno io sapevo così.
Che poi componenti e coordinante sono eguali se la base presa è quella canonica.
Almeno io sapevo così.
Che poi componenti e coordinante sono eguali se la base presa è quella canonica.
Ti rinnovo l'invito a cercare di capire bene la differenza che c'è fra vettore $v$ e $n$-upla delle sue componenti (rispetto ad una base fissata in partenza).
Questo è fondamentale nello studio di spazi vettoriali diversi dal classico $RR^n$.
Buono studio!
Questo è fondamentale nello studio di spazi vettoriali diversi dal classico $RR^n$.
Buono studio!
Ok,vediamo un attimo..
Leggendo su internet e anche sulla dispensa di Sergio mi pare di aver capito che ,ciò che io chiamo coordinante tu chiamo componenti rispetto ad una base.
Sennò non si spiega che dici,rispetto ad una base.
Provo a spiegarmi, un vettore $x=[1,2,3]$ in $R^3$ ha $1,2,3$ come componenti "generiche".
Se invece parliamo di coordinante rispetto ad una base,a priori non posso dire quali sono queste,no?
Dipende strettamente dalla base,infatti se la base è la canonica allora componenti "generiche" e coordinate sono uguali,ma se io cambio base in $[0.5,0,0;0,0.5,0;0,0,0.5]$;allora le coordinate del vettore di cui sopra diventano:
$[2,1,3/2$] Ok?
Sperando di non aver sbagliato fino ad ora,
tornando alla domanda mia iniziale, quando scrive $x=T*x'$ mi viene da pensare che $x'$ non sono niente altro che:
le coordinate rispetto alla nuova base $T$ ,ossia quelle che tu chiamo componenti rispetto alla base.
Per quello che sapevo però: le coordinate sono controvarianti, quindi quella trasformazione di sopra ,trasforma le coordinante .
Quindi con $x$ intenderei le coordinate oppure il vettore in se x se se e solo se la base di partenza è quella canonica.
Aspetto correzioni da esperti.
Ciao
Leggendo su internet e anche sulla dispensa di Sergio mi pare di aver capito che ,ciò che io chiamo coordinante tu chiamo componenti rispetto ad una base.
Sennò non si spiega che dici,rispetto ad una base.
Provo a spiegarmi, un vettore $x=[1,2,3]$ in $R^3$ ha $1,2,3$ come componenti "generiche".
Se invece parliamo di coordinante rispetto ad una base,a priori non posso dire quali sono queste,no?
Dipende strettamente dalla base,infatti se la base è la canonica allora componenti "generiche" e coordinate sono uguali,ma se io cambio base in $[0.5,0,0;0,0.5,0;0,0,0.5]$;allora le coordinate del vettore di cui sopra diventano:
$[2,1,3/2$] Ok?
Sperando di non aver sbagliato fino ad ora,
tornando alla domanda mia iniziale, quando scrive $x=T*x'$ mi viene da pensare che $x'$ non sono niente altro che:
le coordinate rispetto alla nuova base $T$ ,ossia quelle che tu chiamo componenti rispetto alla base.
Per quello che sapevo però: le coordinate sono controvarianti, quindi quella trasformazione di sopra ,trasforma le coordinante .
Quindi con $x$ intenderei le coordinate oppure il vettore in se x se se e solo se la base di partenza è quella canonica.
Aspetto correzioni da esperti.
Ciao
Dunque, $[1,2,3]$ ha come terna delle componenti $(1,2,3)$ rispetto alla base canonica (dimenticavo, tu le chiami coordinate) perchè
$[1,2,3]=1[1,0,0]+2[0,1,0]+3[0,0,1]$
$[1,2,3]$ ha come terna delle componenti $(2,4,6)$ rispetto alla base $([1/2,0,0];[0,1/2,0];[0,0,1/2])$ perchè
$[1,2,3]=2[1/2,0,0]+4[0,1/2,0]+6[0,0,1/2]$
Ora la domanda: se lo spazio vettoriale $X$ iniziale fosse lo spazio dei polinomi a coefficienti in $RR$ di grado $<=2$ (come sai, $X$ è uno spazio vettoriale reale di dimensione $3$), la seguente frase
Se $x$ è un vettore, ovvero un elemento dello spazio vettoriale, deve essere un polinomio.
Se $x$ è la terna delle coordinate allora è una terna di numeri.
Insomma c'è un'incongruenza: o è un polinomio o è una terna di numeri, non può essere entrambe le cose!
Mi sembra abbastanza rischioso (se non dopo un po' di esperienza) identificare un vettore con la $n$-upla delle componenti.
Questa frase è giusta.
$[1,2,3]=1[1,0,0]+2[0,1,0]+3[0,0,1]$
$[1,2,3]$ ha come terna delle componenti $(2,4,6)$ rispetto alla base $([1/2,0,0];[0,1/2,0];[0,0,1/2])$ perchè
$[1,2,3]=2[1/2,0,0]+4[0,1/2,0]+6[0,0,1/2]$
Ora la domanda: se lo spazio vettoriale $X$ iniziale fosse lo spazio dei polinomi a coefficienti in $RR$ di grado $<=2$ (come sai, $X$ è uno spazio vettoriale reale di dimensione $3$), la seguente frase
"edge":deve essere chiarita.
Quindi con $x$ intenderei le coordinate oppure il vettore in se x se se e solo se la base di partenza è quella canonica.
Se $x$ è un vettore, ovvero un elemento dello spazio vettoriale, deve essere un polinomio.
Se $x$ è la terna delle coordinate allora è una terna di numeri.
Insomma c'è un'incongruenza: o è un polinomio o è una terna di numeri, non può essere entrambe le cose!
Mi sembra abbastanza rischioso (se non dopo un po' di esperienza) identificare un vettore con la $n$-upla delle componenti.
"edge":
tornando alla domanda mia iniziale, quando scrive $x=T*x'$ mi viene da pensare che $x'$ non sono niente altro che:
le coordinate rispetto alla nuova base $T$ ,ossia quelle che tu chiamo componenti rispetto alla base.
Per quello che sapevo però: le coordinate sono controvarianti, quindi quella trasformazione di sopra ,trasforma le coordinante .
Questa frase è giusta.
L'esempio dei polinomi è esaustivo.
Nel mio esempio, lo spazio $X$ è l'insieme dei vettori di stato.
Penso di aver capito adesso
Nel mio esempio, lo spazio $X$ è l'insieme dei vettori di stato.
Penso di aver capito adesso
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