Cambio di base

[lazza2]

Siano B = ($u1$=(1,2) $u2$=(2,3)) e B' = ($v1$=(1,1) $v2$=(4,3))

due basi di $RR^2$. Scrivere le matrici $H^B$[size=75]B'[/size] e $H^B'$[size=75]B[/size].

$H^B$[size=75]B'[/size] è la matrice formata dalle coordinate dei vettori di $B'$ rispetto a $B$?

Qualcuno sa qual è il procedimento da svolgere per risolvere l'esercizio, e qual è il ragionamento che porta a compiere queste determinate operazioni ?

[_Tipper]

Sia $E=(e_1,e_2)$ una base di $\mathbb{R}^2$, allora si dice che un certo vettore $v$ ha coordinate $(\alpha,\beta)$ rispetto alla base $E$ se e solo se $v= \alpha e_1 + \beta e_2$. Data invece una base $U=(u_1, u_2)$, allora si dirà che lo stesso vettore $v$ ha coordinate $(\gamma, \delta)$ rispetto alla base $U$ se e solo se $v= \gamma u_1 + \delta u_2$.

Quello che devi fare in questo esercizio è scrivere i vettori di $B$ rispetto alla base $B'$, ovvero devi trovare delle costanti $\alpha$ e $\beta$ tali che $u_1 = \alpha v_1 + \beta v_2$, e delle costanti $\gamma$ e $\delta$ tali che $u_2 = \gamma v_1 + \delta v_2$. Queste costanti si trovano svolgendo due sistemini.

Quindi, i vettori della base $B$, cioè $u_1$ e $u_2$, espressi rispetto alla base $B'$ sono, rispettivamente $(\alpha, \beta)$ e $(\gamma, \delta)$, e la matrice $H_{B'}^{B}$ risulta pari a $((\alpha, \gamma),(\beta, \delta))$, cioè i due vettori trovati sono le colonne della matrice.

Procedendo analogamente, alla rovescia, si trova anche l'altra matrice.

[lazza2]

Scusa l'ignoranza ma il sistema a cui ti riferisci tu qual è?
E' possibile che una soluzione dell'esercizio sia data da:

H_{B'}^{B}=H_{E_2}^{B} H_{B'}^{E_2}

Dove con E_2 intendo la base canonica di $$RR^2$$

[lazza2]

Scusa l'ignoranza ma il sistema a cui ti riferisci tu qual è?
E' possibile che una soluzione dell'esercizio sia data da:

$H_{B'}^{B}=H_{E_2}^{B} H_{B'}^{E_2}$

Dove con E_2 intendo la base canonica di $RR^2$

[_Tipper]

$u_1 = \alpha v_1 + \beta v_2$

Questo è un sistema di due equazioni nelle due incognite $\alpha$ e $\beta$

$u_2 = \gamma v_1 + \delta v_2$

idem.

Comunque è possibile che la soluzione del'esercizio sia quella.

In questo caso: $M_{B'}^{E_2} = ((1,4),(1,3))$ e $M_{E_2}^{B}=((1,2),(2,3))^{-1}$.

[Dust1]

"lazza":Scusa l'ignoranza ma il sistema a cui ti riferisci tu qual è?
E' possibile che una soluzione dell'esercizio sia data da:

$H_{B'}^{B}=H_{E_2}^{B} H_{B'}^{E_2}$

Dove con E_2 intendo la base canonica di $RR^2$

Generalmente si preferisce scrivere la matrice di una base $B$ del dominio rispetto alla base canonica del codominio, perchè la matrice si ottiene semplicemente disponendo i vettori della base $B$ sulle colonne.
Ciao

[lazza2]

Ho un altro problemino....

Sia f: (x,y,z)=(0,x+y,z). Trovare la matrice associata ad f rispetto alla base $beta$=(1,1,0),(-2,-1,0),(1,0,-1)
Non so come iniziare, cioè qual è il ragionamento che devo seguire?

[_Tipper]

Sia $M_{U}^{U}(f)$ la matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla base $U$ dei versori. La matrice che ti fa passare dalla base canonica alla base $\beta$ è la matrice $M_{\beta}^{U}$ che ha come colonne i vettori di $\beta$ rispetto alla base $U$, mentre la matrice che riporta indietro su $U$ vale $(M_{\beta}^{U})^{-1} = M_{U}^{\beta}$.

Ora, la matrice da te richiesta vale: $M_{\beta}^{\beta}(f) = M_{U}^{\beta} M_{U}^{U}(f) M_{\beta}^{U}$.