Cambio coordinate e SDR
Ciao a tutti. Volevo chiedervi un aiuto su un cambio sdr come in figura.
Purtroppo non ho trovato la sezione geometria più adatta e non vorrei essere finito in quella più universitaria però penso vada bene comunque, in ogni caso provo a esporvi il problema.
voglio passare da x,y ->x'y' e credo di incasinarmi con i segni
Mi spiego:
Se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O' farei questo ragionamento:
se a è la distanza nel riferimento $O$ tra O e O'
1) prendo $y'$ coordinata in $O'$ di D e notando che $y'>0$ scrivo $y'=-x-a$ ove $x$ è la coordinata di $D$ in $O$. Però notando che $x<0$ scrivo $-x$ (così è positiva), l'idea che ho è come come se avessi la componente del "vettore" $vecx$ nella base O e poi metto il meno per portarmi nella coordinata del vettore x in O'.
Il ragionamento del - davanti ad a è identico perché era assunta come coordinate nel sistema O, quindi nelle coordinate di O' $veca$ avrà componenti negative in valore: aggiungo il meno davanti e passo da O a O'.
2) invertendo la relazione ho che $x=-y'-a$ e sembra tornare perché qui invece ho $x$ (che ricordo essere negativa) uguale a $-y'$ ed è giusto perché $y'$ è positivo come valore (e infatti era dato in $O'$ dalla (1) ) e con il meno davanti che ho qui lo" trasformo" nel valore negativo che ha rispetto al riferimento $O$.
Anche $-a$ è negativa e mi pare la somma mi porti proprio a trovare il segmento $x$ voluto.
Quindi invertire 1) in 2) mantiene coerenza dei risultati con i vari meno davanti al posto giusto.
Tuttavia mi incasino un po' con questo ragionamento seguente:
se a è invece la distanza nel riferimento $O'$ tra O' e O (ora sarà positiva e quindi:)
1') $y'=-x+a$
da cui
2') $x=-y'+a$ e qui non mi torna tanto perchè ho $x$ che è la coordinata di D in O ed è ok, poi ho $-y'$ coordinata di D rispetto a O' ma trasformata in coordinata in O dato che ho il meno davanti. Però mi rimane $+a$ e questa è la coordinata di O rispetto a O' ma in O'! Non mantiene la coerenza. Mi sarei aspettato un legame su "a" che che sia però nel riferimento O e invece sono con +a ancora in O'!! Però così facendo sommo $-y'$ componente nel sdr O e poi $+a$ che è ancora la distanza nel sdr in O', mi aspetterei un $-a$
Vorrei chiedere due cose:
A) i ragionamenti fatti sono secondo voi giusti? Nel caso potreste gentilmente aiutarmi a correggerli?
B) come risolvo il dubbio sollevato in (2')?
Grazie mille per l'aiuto!
Purtroppo non ho trovato la sezione geometria più adatta e non vorrei essere finito in quella più universitaria però penso vada bene comunque, in ogni caso provo a esporvi il problema.
voglio passare da x,y ->x'y' e credo di incasinarmi con i segni
Mi spiego:
Se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O' farei questo ragionamento:
se a è la distanza nel riferimento $O$ tra O e O'
1) prendo $y'$ coordinata in $O'$ di D e notando che $y'>0$ scrivo $y'=-x-a$ ove $x$ è la coordinata di $D$ in $O$. Però notando che $x<0$ scrivo $-x$ (così è positiva), l'idea che ho è come come se avessi la componente del "vettore" $vecx$ nella base O e poi metto il meno per portarmi nella coordinata del vettore x in O'.
Il ragionamento del - davanti ad a è identico perché era assunta come coordinate nel sistema O, quindi nelle coordinate di O' $veca$ avrà componenti negative in valore: aggiungo il meno davanti e passo da O a O'.
2) invertendo la relazione ho che $x=-y'-a$ e sembra tornare perché qui invece ho $x$ (che ricordo essere negativa) uguale a $-y'$ ed è giusto perché $y'$ è positivo come valore (e infatti era dato in $O'$ dalla (1) ) e con il meno davanti che ho qui lo" trasformo" nel valore negativo che ha rispetto al riferimento $O$.
Anche $-a$ è negativa e mi pare la somma mi porti proprio a trovare il segmento $x$ voluto.
Quindi invertire 1) in 2) mantiene coerenza dei risultati con i vari meno davanti al posto giusto.
Tuttavia mi incasino un po' con questo ragionamento seguente:
se a è invece la distanza nel riferimento $O'$ tra O' e O (ora sarà positiva e quindi:)
1') $y'=-x+a$
da cui
2') $x=-y'+a$ e qui non mi torna tanto perchè ho $x$ che è la coordinata di D in O ed è ok, poi ho $-y'$ coordinata di D rispetto a O' ma trasformata in coordinata in O dato che ho il meno davanti. Però mi rimane $+a$ e questa è la coordinata di O rispetto a O' ma in O'! Non mantiene la coerenza. Mi sarei aspettato un legame su "a" che che sia però nel riferimento O e invece sono con +a ancora in O'!! Però così facendo sommo $-y'$ componente nel sdr O e poi $+a$ che è ancora la distanza nel sdr in O', mi aspetterei un $-a$
Vorrei chiedere due cose:
A) i ragionamenti fatti sono secondo voi giusti? Nel caso potreste gentilmente aiutarmi a correggerli?
B) come risolvo il dubbio sollevato in (2')?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
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Ciao sellacollesella e grazie per la spiegazione. In realtà mi sembra chiaro quando hai detto però siccome sono ormai incuriosito, il mio ragionamento secondo te è sbagliatissimo? Cioè vorrei capire se formalmente è giusto per quando mi renda conto sia molto più scemo della tua spiegazione. E' una curiosità che vorrei togliermi.
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"sellacollesella":
per via della traslazione di vettore \(\overline{O'-O}=(-4,0)\) si ottiene \(y'=-x-4\).
Non capisco però questo vettore traslazione è visto come componenti in O od O', c'è infatti una differenza perché ad es. un vettore (1,0) in O varrebbe (0,-1) in O'. Quindi quando valuto il vettore traslazione in quale sdr devo (scom)porlo?
se scrivo (-4,0) infatti immagino che x=-4 e y=0, tuttavia poi $y'=-x-4$, quindi qui sfrutto la componente -4 per sottrarla alla componenti si y'. Quindi è il vettore (0,-4) in O'. Insomma sono confuso
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Ti ringrazio per la risposta di cui ahimé mi accorgo solo ora perché non mi era arrivata la notifica come nelle altre e non avevo poi fatto l'accesso.
C'è comunque una cosa che forse ho spiegato male ma non ho del tutto appreso:
Chiamo O il primo sdr, O' quello ruotato e O'' quello roto-traslato
Ho capito intuitivamente che le nuove coordinate saranno $(x′',y′')=(y,−x−4)$, e mi torna. Tuttavia se sfrutto come dici tu il fatto che "la trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento Oxy, originario", se il vettore di traslazione è $O'-O=(−4,0)$ (con coordinate in O) non mi ci ritrovo perché dovrei avere la componente di traslazione $x_0=-4$ e $y_0=0$, però io vado a sottrarla a $y'$ evidentemente. E quindi mi sembra il vettore di traslazione non sia da vedersi in O ma O', infatti in tal modo $O'(0,+4)$ funzionerebbe sottratto alle componenti x' e y'. Non so se ho spiegato benissimo ma il punto è che se faccio prima la rotazione ho il vettore posizione $(x',y')=(y,-x)$ e quindi assumento il vettore $(−4,0)$ in O non posso sottrarlo impunemente al vettore di componente y' in O' dato che $y-(-4)=x''$ non mi dà il risultato voluto
C'è comunque una cosa che forse ho spiegato male ma non ho del tutto appreso:
Chiamo O il primo sdr, O' quello ruotato e O'' quello roto-traslato
Ho capito intuitivamente che le nuove coordinate saranno $(x′',y′')=(y,−x−4)$, e mi torna. Tuttavia se sfrutto come dici tu il fatto che "la trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento Oxy, originario", se il vettore di traslazione è $O'-O=(−4,0)$ (con coordinate in O) non mi ci ritrovo perché dovrei avere la componente di traslazione $x_0=-4$ e $y_0=0$, però io vado a sottrarla a $y'$ evidentemente. E quindi mi sembra il vettore di traslazione non sia da vedersi in O ma O', infatti in tal modo $O'(0,+4)$ funzionerebbe sottratto alle componenti x' e y'. Non so se ho spiegato benissimo ma il punto è che se faccio prima la rotazione ho il vettore posizione $(x',y')=(y,-x)$ e quindi assumento il vettore $(−4,0)$ in O non posso sottrarlo impunemente al vettore di componente y' in O' dato che $y-(-4)=x''$ non mi dà il risultato voluto
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Scusami ma stavolta sono stato inghiottito dallo studio di altre materie e ho dovuto accantonare questo quesito. Finalmente ho un attimo di respiro.
Sì certo, però mi sembra confermare quello che dicevo nel messaggio precedente, nel senso che non posso usare O'−O=(−4,0) post rotazione ma devo ri-settarmi nel sdr ruotato e rivedere O'−O di conseguenza. Non posso usare le coordinate rispetto a Oxy.
In particolare mi riferisco a quando mi rispondevi:
"sellacollesella":
traslando \(O'\) di vettore \(\overline{O''-O'} = (0,4)\) otteniamo \(O''x''y''\) relazionati da \((x'',y'')=(x',y'-4)\); da cui ne consegue che \((x'',y'') = (y,-x-4)\), come volevasi dimostrare. Così ti aggrada?
Sì certo, però mi sembra confermare quello che dicevo nel messaggio precedente, nel senso che non posso usare O'−O=(−4,0) post rotazione ma devo ri-settarmi nel sdr ruotato e rivedere O'−O di conseguenza. Non posso usare le coordinate rispetto a Oxy.
In particolare mi riferisco a quando mi rispondevi:
La trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento Oxy, ossia ruoto gli assi di 90° attorno a O e poi traslo O di vettore (−4,0)
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