Cambiamentoi di base

[monetaria]

sapreste dirmi come fare un cambiamento di base nel piano considerando che la base formata davettori indipendenti NON è ortogonale?

[alle.fabbri]

I cambiamenti di base funzionano tutti nello stesso modo, indipendentemente dal fatto che la nuova base sia ortonormale o meno. Nel piano uno considera la base canonica e descrive i vettori di $RR^2$ come $ \vec x = (x,y) = x \hat i + y \hat j $ dove intendiamo che $\hat i $ e $\hat j$ siano i vettori della base canonica.

Ora prendiamo altri due vettori linearmente indipendenti, chiamali $\vec {a}$ e $\vec {b}$. Essendo vettori del piano avranno modo di essere rappresentati sulla base canonica, cioè esisteranno in maniera univoca due coppie di numeri $ (a_x,a_y) $ e $ (b_x, b_y) $ tali che
$ \vec {a} = a_x \hat i + a_y \hat j $
$ \vec {b} = b_x \hat i + b_y \hat j $
Queste ci dicono anche come calcolare i coefficienti, infatti prendendo i prodotti scalari delle relazioni precedenti con $\hat i $ e $\hat j$ otteniamo
$a_x = \vec a * \hat i$
$a_y = \vec a * \hat j$
cioè i coefficienti sono proprio le componenti di $\vec a$ lungo le direzioni $\hat i $ e $\hat j$. Questo perchè la base è ortonormale.
$\hat i * \hat i = \hat j * \hat j = 1$
$\hat i * \hat j = 0$

Questo ragionamento deve valere anche se scambiamo i ruoli delle due basi ${\hat i , \hat j}$ e ${\vec {a} , \vec {b}}$, cioè esisteranno due coppie di numeri, chiamali $ (i_a,i_b) $ e $ (j_a, j_b) $ tali che
$ \hat i = i_a \vec {a} + i_b \vec {b} $
$ \hat j = j_a \vec {a} + j_b \vec {b} $
solo che stavolta, in mancanza di ortonormalità, le relazioni che otteniamo diventano
$ \vec a * \hat i = a_x = i_a \vec {a}*\vec {a} + i_b \vec {b}*\vec {a}$
$ \vec b * \hat i = b_x = i_a \vec {a}*\vec {b} + i_b \vec {b}*\vec {b} $

$ \vec a * \hat j = a_y = j_a \vec {a}*\vec {a} + j_b \vec {b}*\vec {a} $
$ \vec b * \hat j = b_y = j_a \vec {a}*\vec {b} + j_b \vec {b}*\vec {b} $

Allora posto $a^2 = \vec {a}*\vec {a}$ , $b^2 = \vec {b}*\vec {b}$ e $ s = \vec {a}*\vec {b} $ , lecito in quanto i prodotti scalari non dipendono dalla base purchè sia ortonormale e quella canonica lo è, le relazioni di prima si riducono al sistema di equazioni nelle incognite $ (i_a,i_b) $ e $ (j_a, j_b) $
$\{ (a_x = a^2 i_a + s i_b ) ,(b_x = s i_a + b^2 i_b ) , ( a_y = a^2 j_a + s j_b ), ( b_y = s j_a + b^2 j_b ) :}$
che si sdoppia in due sistemi.
Il primo
$\{ (a^2 i_a + s i_b = a_x) ,(s i_a + b^2 i_b = b_x ):}$
e il secondo
$\{( a^2 j_a + s j_b = a_y), (s j_a + b^2 j_b = b_y ) :}$
questi sono risolubili in termini delle componenti dei vettori $\vec {a} $ e $ \vec {b}$ nelle incognite $ (i_a,i_b) $ e $ (j_a, j_b) $.

A questo punto sei arrivato perchè
$ \vec x = = x \hat i + y \hat j = x ( i_a \vec {a} + i_b \vec {b} ) + y (j_a \vec {a} + j_b \vec {b}) = (x i_a + y j_a) \vec {a} + (x i_b + y j_b) \vec {b}$
e cioè
$ \vec x = x_a \vec {a} + x_b \vec {b}
con
$\{ (x_a = x i_a + y j_a) , ( x_b = x i_b + y j_b) :}$
cioè, in una forma più illuminante,
$\((x_a) , (x_b)) = ((i_a , j_a) , (i_b , j_b)) ( (x) , (y)) $

.......woah......ho scritto davvero un sacco...........spero possa servire.........mi scuso per gli eventuali errori e sono disponibile per delucidazioni.