Cambiamento riferimento spazi euclidei.

[Samy211]

Salve a tutti,

Sto cercando di capire come scrivere l'equazione di una retta una volta assegnati i punti per i quali passa in un dato riferimento.

Per essere precisi, so che nel riferimento $Oe_1 e_2$ la retta $r$ passa per i punti $A=(1,1)$ e $B=(2,-2)$.
Mi chiede di scrivere l'eq della retta r nel riferimento $O e_1 + e_2, e_1 - e_2$.
Onestamente non so da dove iniziare [emoji43]

Grazie a tutti per l'eventuale aiuto...

[Sk_Anonymous]

Ciao, Samy21.

Per poterti rispondere, mi servirebbe un chiarimento sulla simbologia da te usata; con $e_1$ ed $e_2$ indichi, rispettivamente, i vettori "canonici" $(1,0)$ e $(0,1)$?

Saluti.

[lupoermeyo]

Secondo me il modo più semplice di procedere, od almeno il più intuitvo, è:

1 Calcoli i vettori $v_1=e_1+e_2$ e $v_2=e_1-e_2$. Dopo aver controllato che i vettori formino una nuova base per lo spazio vettoriale (la formano sempre?) otteniamo il nuovo sistema di riferimento affine $Ov_1 v_2$.

2 Troviamoci l'applicazione cambiamento di base $beta(X)$ che porta i punti $A,B$ rispettivamente in $beta(A)=A' , beta(B)=B'$

3 Adesso abbiamo ricondotto il problema a quello principale che sai risolvere, ossia hai due punti in uno spazio affine e devi trovare la retta tra loro. Anche qui il metodo secondo me più intuitivo è che la reta che va da A verso B puoi vederla parametrizzata come $alpha(t)=t*(B'-A')$

Spero di non aver scritto castronerie e che sia tutto chiaro

[Samy211]

"alessandro8":Per poterti rispondere, mi servirebbe un chiarimento sulla simbologia da te usata; con $e_1$ ed $e_2$ indichi, rispettivamente, i vettori "canonici" $(1,0)$ e $(0,1)$?

Si confermo che intendo i vettori canonici.

[Samy211]

"lupoermeyo":Secondo me il modo più semplice di procedere, od almeno il più intuitvo, è:

1 Calcoli i vettori $v_1=e_1+e_2$ e $v_2=e_1-e_2$. Dopo aver controllato che i vettori formino una nuova base per lo spazio vettoriale (la formano sempre?) otteniamo il nuovo sistema di riferimento affine $Ov_1 v_2$.

2 Troviamoci l'applicazione cambiamento di base $beta(X)$ che porta i punti $A,B$ rispettivamente in $beta(A)=A' , beta(B)=B'$

3 Adesso abbiamo ricondotto il problema a quello principale che sai risolvere, ossia hai due punti in uno spazio affine e devi trovare la retta tra loro. Anche qui il metodo secondo me più intuitivo è che la reta che va da A verso B puoi vederla parametrizzata come $alpha(t)=t*(B'-A')$

Spero di non aver scritto castronerie e che sia tutto chiaro

I vettori $v_1, v_2$ formano una base se sono l.i. e, per vederlo, calcolo il determinante della matrice associata che deve essere non nullo.
AL punto 2 quindi applichi un cambiamento di base?

Grazie per il tuo aiuto!

[lupoermeyo]

Scusa se ho mancato di riponderti ma la sessione estiva si avvicina

Si, nel punto due applico il classico cambiamento di base che avrai sicuramente visto per gli spazzi vettoriali e poi affini. Trovarlo è abbastanza semplice partendo dalla base canonica, qui sul forum o se googli un attimo trovi tantissimi metodi algoritmici per trovartela.
Una volta fatto il problema è praticamente risolto

[dissonance]

"Samy21":[quote="alessandro8"]Per poterti rispondere, mi servirebbe un chiarimento sulla simbologia da te usata; con $e_1$ ed $e_2$ indichi, rispettivamente, i vettori "canonici" $(1,0)$ e $(0,1)$?

Si confermo che intendo i vettori canonici.[/quote]
Ma è uguale. L'unica cosa importante è che $O, e_1, e_2$ sia un riferimento affine. Dopodiché tutti i conti sono fatti in questo riferimento.

[lupoermeyo]

I vettori $v_1, v_2$ formano una base se sono l.i. e, per vederlo, calcolo il determinante della matrice associata che deve essere non nullo.

Io non sono il più indicato a dirtelo forse, dato che non sono proprio l'esempio dell'ordine e del rigore, però credo che in questa affermazione ci sia qualcosa di strano. Non capisco bene cos'è la matrice associata a due vettori però credo di aver capito quello che dici. Vedi i vettori come colonne di una matrice e controlli se la matrice ha rango massimo. In particolare se cerchiamo una base la dimensione dei vettori ci permetterà di ottenere una matrice quadrata e da qui tu mi parli di determinante. Ricordati però che questo è solo un particolare metodo, l'importante è sapere, come ha fatto notare anche giustamente dissonance nel caso delle basi, che quei vettori sono l.i., nel caso di prima che formino una base.

Quello su cui volevo metterti in guardia, dal momento che ci sono caduto tante volte anche io, è che solo per particolari trasformazioni vettori l.i. vengono mappati in vettori l.i. e che richiedere questa cosa è una richiesta importante che, se non premessa, va verificata. Buono studio

[Samy211]

"lupoermeyo":

I vettori $ v_1, v_2 $ formano una base se sono l.i. e, per vederlo, calcolo il determinante della matrice associata che deve essere non nullo.

Io non sono il più indicato a dirtelo forse, dato che non sono proprio l'esempio dell'ordine e del rigore, però credo che in questa affermazione ci sia qualcosa di strano. Non capisco bene cos'è la matrice associata a due vettori però credo di aver capito quello che dici. Vedi i vettori come colonne di una matrice e controlli se la matrice ha rango massimo. In particolare se cerchiamo una base la dimensione dei vettori ci permetterà di ottenere una matrice quadrata e da qui tu mi parli di determinante. Ricordati però che questo è solo un particolare metodo, l'importante è sapere, come ha fatto notare anche giustamente dissonance nel caso delle basi, che quei vettori sono l.i., nel caso di prima che formino una base.

Quello su cui volevo metterti in guardia, dal momento che ci sono caduto tante volte anche io, è che solo per particolari trasformazioni vettori l.i. vengono mappati in vettori l.i. e che richiedere questa cosa è una richiesta importante che, se non premessa, va verificata. Buono studio

Grazie, si in effetti la tua precisazione è corretta, ho dato per scontato che riguardasse una matrice quadrata.
Comunque grazie mille a tutti e due, adesso ho risolto!