Cambiamento di variabili: determinante Jacobiana
Riguardo alla presenza del determinante della Jacobiana nella formula di cambiamento di variabili per gli integrali, ho trovato a pag. 435 del Bramanti/Pagani/Salsa la seguente giustificazione (di cui riproduco il grafico):
Da quel grafico viene dedotto che:
$dxdy = rhodrhod theta$
Qualcuno poterbbe giustificarmi tale uguaglianza e in particolare perchè quel arco in alto a destra viene indicato come $rhod theta$ ?
Grazie!
Da quel grafico viene dedotto che:
$dxdy = rhodrhod theta$
Qualcuno poterbbe giustificarmi tale uguaglianza e in particolare perchè quel arco in alto a destra viene indicato come $rhod theta$ ?
Grazie!
Risposte
Per capire bene uno dovrebbe al limite disegnare
tutti i tratti della figura molto piccoli, idealmente
infinitesimi, comunque non è difficile. Se tu hai
un quadratino infinitesimo di area $dxdy$,
se cambi coordinate passando a polari, un lato
del quadratino diventa $rho d theta$, cioè l'arco
di circonferenza infinitesimo, sotteso da un
angolo infinitesimo $d theta$; l'altro lato del
quadratino diventa un pezzo infinitesimo del raggio $drho$,
quindi l'area del nuovo quadratino infinitesimo è $rho d rho d theta$
tutti i tratti della figura molto piccoli, idealmente
infinitesimi, comunque non è difficile. Se tu hai
un quadratino infinitesimo di area $dxdy$,
se cambi coordinate passando a polari, un lato
del quadratino diventa $rho d theta$, cioè l'arco
di circonferenza infinitesimo, sotteso da un
angolo infinitesimo $d theta$; l'altro lato del
quadratino diventa un pezzo infinitesimo del raggio $drho$,
quindi l'area del nuovo quadratino infinitesimo è $rho d rho d theta$
"Reynolds":
un lato
del quadratino diventa $rho d theta$, cioè l'arco
di circonferenza infinitesimo, sotteso da un
angolo infinitesimo $d theta$;
L'altro lato mi è chiaro, ma questo no! Perchè $rho d theta$?
Supponendo di considerare quell'elemento infinitesimo come un rettangolo, la "base" sarebbe $d rho$ e "l'altezza" $d theta$.. perchè $rho d theta$ ?
No... L'altezza come la chiami tu è $rho d theta$...
La misura dell'arco di circonferenza sotteso
da un angolo $theta$ è uguale alla misura
dell'angolo in radianti moltiplicata per la lunghezza
del raggio della circonferenza. Quindi la lunghezza
dell'arco infinitesimo di circonferenza (infinitesimo
perché sotteso da un angolo infinitesimo)
è $rho d theta$, se $rho>=0$ è il raggio della crf.
La misura dell'arco di circonferenza sotteso
da un angolo $theta$ è uguale alla misura
dell'angolo in radianti moltiplicata per la lunghezza
del raggio della circonferenza. Quindi la lunghezza
dell'arco infinitesimo di circonferenza (infinitesimo
perché sotteso da un angolo infinitesimo)
è $rho d theta$, se $rho>=0$ è il raggio della crf.
"Reynolds":
No... L'altezza come la chiami tu è $rho d theta$...
La misura dell'arco di circonferenza sotteso
da un angolo $theta$ è uguale alla misura
dell'angolo in radianti moltiplicata per la lunghezza
del raggio della circonferenza. Quindi la lunghezza
dell'arco infinitesimo di circonferenza (infinitesimo
perché sotteso da un angolo infinitesimo)
è $rho d theta$, se $rho>=0$ è il raggio della crf.
Ah ok! Effettivamente con disegni così "grandi" la cosa è un pò fuorviante.. grazie per la delucidazione!
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