Cambiamento di riferimento cartesiano ortonormale

[Saph1]

Salve ragazzi, ecco il mio problema:

Devo determinare le formule del cambiamento di coordinate dal riferimento RC(O,x,y) al riferimento RC(O',x',y') sapendo che
$x':= x+2y+3=0$ e $y:= 2x-y-4=0$ e che l'asse x' è orientato come le $y<0$.

Ecco cosa ho fatto:

$\{(x'=a( 2x-y-4 )),(y'= b(x+2y+3)):}$

da cui

$\{(5a^2=1),(5b^2=1),(5ab=-1):}$

ora però mi manca una condizione. Ho visto nella soluzione che la quarta è: $-a-2<-2$ ovvero $a>0$, ma come si ci arriva?

[dissonance]

Non ho fatto nessun conto, ma una condizione simile (col segno di $<$, per intenderci) non può che provenire dall'orientazione del nuovo sistema di riferimento (ovvero, concretamente, che il determinante della matrice di passaggio sia positivo).

[Saph1]

no no il determinante della matrice di passaggio deve essere -1 in quanto i riferimenti sono inversamente congruenti (mi sto accorgendo ora di non averlo detto).

Alla fine sono riuscito a risolvere: la condizione $-a-2<-2$ deriva dal fatto che, essendo l'ascissa del nuovo riferimento orientata come le $y<0$, il punto unità $U_1^{\prime}$ del nuovo riferimento avrà ordinata minore di $O'$, origine del nuovo sistema di riferimento.